La majoration θ(x) ≤ x ln 4

(i) Les trois assertions se démontrent par récurrence sur $m$ à partir de la relation de Pascal ; pour la deuxième, $$\begin{aligned} &k!(m + 1 - k)!\Big(\binom mk + \binom m{k-1}\Big) \\ &\quad = (m + 1 - k)\,m! + k\,m! \\ &\quad = (m + 1)!. \end{aligned}$$

(ii) Par (i), $\binom{2n+1}n = \binom{2n+1}{n+1}$, et ces deux termes figurent dans la somme $2^{2n+1}$ ; donc $2\binom{2n+1}n \leqslant 2^{2n+1}$.

Un nombre premier $p$ tel que $n + 1 < p \leqslant 2n + 1$ divise $$(2n + 1)! = \binom{2n+1}n\, n!\,(n + 1)!,$$ mais ne divise aucun facteur de $n!\,(n + 1)!$, tous inférieurs à $p$ ; par le lemme d'Euclide (Nombres premiers), il divise $\binom{2n+1}n$.

Des nombres premiers distincts divisant un entier, leur produit le divise, par l'unicité de la décomposition en facteurs premiers (Nombres premiers, (ii)) : chacun d'eux figure dans la décomposition de $\binom{2n+1}n$.

(iii) Montrons $\theta(m) \leqslant m \ln 4$ pour tout entier $m \geqslant 1$, par récurrence forte. C'est vrai pour $m = 1$ et $m = 2$.

Si $m > 2$ est pair, il n'est pas premier, et $\theta(m) = \theta(m - 1) \leqslant (m - 1)\ln 4$. Si $m = 2n + 1$ avec $n \geqslant 1$, le logarithme transforme les produits en sommes (Logarithme, puissances, (i)), et il est croissant, comme réciproque de l'exponentielle strictement croissante (texte du même nœud) ; le produit des $p$ tels que $n + 1 < p \leqslant 2n + 1$ étant au plus $4^n$ par (ii), la somme de leurs logarithmes est au plus $n \ln 4$, et $$\begin{aligned} \theta(2n + 1) &= \theta(n + 1) \\ &\quad + \sum_{n + 1 < p \leqslant 2n + 1} \ln p \\ &\leqslant (n + 1)\ln 4 + n\ln 4 \\ &= m\ln 4. \end{aligned}$$ Pour $x$ réel, $\theta(x) = \theta(\lfloor x \rfloor) \leqslant \lfloor x \rfloor \ln 4 \leqslant x \ln 4$.