Règles de calcul sur les relations de comparaison

(i) Il existe des constantes $C, C' > 0$, quitte à les augmenter, telles que $|f| \leqslant C|g|$ et $|g| \leqslant C'|h|$ au voisinage de $a$ ; les deux inégalités sont vraies simultanément, et $|f| \leqslant CC'|h|$. Si $f = o(g)$, on prend, pour $\varepsilon > 0$, $|f| \leqslant (\varepsilon/C')|g|$, d'où $|f| \leqslant \varepsilon|h|$ ; si $g = o(h)$, on prend $|g| \leqslant (\varepsilon/C)|h|$.

(ii) Pour $\varepsilon > 0$, posons $\varepsilon' = \varepsilon/(|\lambda| + |\mu| + 1)$. Au voisinage de $a$, $|f_1| \leqslant \varepsilon'|h|$ et $|f_2| \leqslant \varepsilon'|h|$, donc $|\lambda f_1 + \mu f_2| \leqslant (|\lambda| + |\mu|)\varepsilon'|h| \leqslant \varepsilon|h|$. Le cas de $O$ est le même, avec des constantes.

(iii) Si $|f_1| \leqslant C_1|g_1|$ et $|f_2| \leqslant C_2|g_2|$, alors $|f_1f_2| \leqslant C_1C_2|g_1g_2|$. Si $f_2 = o(g_2)$, on prend $|f_2| \leqslant (\varepsilon/C_1)|g_2|$, avec $C_1 > 0$. Enfin $|f| \leqslant \varepsilon|g|$ entraîne $|kf| \leqslant \varepsilon|kg|$.

(iv) La réflexivité vient de $f - f = 0$, négligeable devant toute fonction. Si $f \sim g$, l'inégalité $|f - g| \leqslant \frac12|g|$ est vraie au voisinage de $a$ ; par l'inégalité triangulaire, elle donne $|f| \leqslant \frac32|g|$ et $|g| \leqslant |f| + \frac12|g|$, soit $|g| \leqslant 2|f|$. Ainsi $f = O(g)$ et $g = O(f)$ ; par (i), $f - g = o(g)$ et $g = O(f)$ donnent $f - g = o(f)$, c'est-à-dire $g \sim f$ : la relation est symétrique. Si $f \sim g$ et $g \sim h$, alors $f - g = o(g)$ et $g = O(h)$, donc $f - g = o(h)$ par (i), et $f - h = (f - g) + (g - h) = o(h)$ par (ii) : la relation est transitive.

(v) Les inégalités ont été obtenues en (iv). Si $g(x) > 0$, alors $f(x) \geqslant g(x) - |f(x) - g(x)| \geqslant \frac12 g(x) > 0$, et de même si $g(x) < 0$ ; si $g(x) = 0$, alors $|f(x)| \leqslant 0$. Si $g$ tend vers le réel $\ell$, elle est bornée au voisinage de $a$, car $|g(x)| \leqslant |\ell| + 1$ dès que $|g(x) - \ell| < 1$ ; donc $f - g = o(g) = o(1)$ par (i), et $f - \ell = (f - g) + (g - \ell) = o(1)$ par (ii), ce qui signifie $f \to \ell$ (Relations de comparaison, (ii)). Si $g \to +\infty$ et $A$ est un réel, on a $g(x) > \max(0, 2A)$ au voisinage de $a$, d'où $f(x) \geqslant \frac12 g(x) > A$ ; le cas de $-\infty$ s'en déduit en changeant $f$ et $g$ en leurs opposées.

(vi) Par (iv), $f_2 = O(g_2)$. On écrit $$\begin{aligned} f_1f_2 - g_1g_2 &= (f_1 - g_1)f_2 \\ &\quad + g_1(f_2 - g_2). \end{aligned}$$ Le premier terme est le produit de $o(g_1)$ par $O(g_2)$, le second celui de $g_1$ par $o(g_2)$ : tous deux sont $o(g_1g_2)$ par (iii), et leur somme aussi par (ii).

Pour les inverses, $\frac1{f_1} - \frac1{g_1} = (g_1 - f_1)\cdot\frac{1}{f_1}\cdot\frac{1}{g_1}$. Par (v), $|f_1| \geqslant \frac12|g_1|$ au voisinage de $a$, donc $\frac1{f_1} = O\big(\frac1{g_1}\big)$ ; comme $g_1 - f_1 = o(g_1)$, la règle (iii), appliquée deux fois, donne un $o\big(g_1 \cdot \frac1{g_1}\cdot\frac1{g_1}\big) = o\big(\frac1{g_1}\big)$.

Pour les puissances, posons $t = f_1/g_1$, définie et strictement positive sur $D$. La fonction $u \mapsto u^\alpha$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ (Puissances réelles, (iii)), donc continue en $1$ (Développement à l'ordre 1), où elle vaut $1$ : pour $\eta > 0$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que $|u - 1| < \varepsilon$ entraîne $|u^\alpha - 1| < \eta$. Or $|f_1 - g_1| \leqslant \frac\varepsilon2 g_1$, c'est-à-dire $|t - 1| \leqslant \frac\varepsilon2$, est vraie au voisinage de $a$. Par les règles de calcul des puissances (Puissances réelles, (i)), $f_1^\alpha - g_1^\alpha = g_1^\alpha\,(t^\alpha - 1)$, et donc $|f_1^\alpha - g_1^\alpha| \leqslant \eta\, g_1^\alpha$ au voisinage de $a$.

(vii) Soit $\varepsilon > 0$, et $V$ un voisinage relatif de $a$ sur lequel $|f| \leqslant \varepsilon|g|$. La propriété $u(y) \in V$ est vraie au voisinage de $c$, et pour un tel $y$, $|f(u(y))| \leqslant \varepsilon|g(u(y))|$. Le cas de $O$ est identique, et celui de $\sim$ s'en déduit, puisque $f \circ u - g \circ u = (f - g) \circ u$.

(viii) Par (v), $f > 0$ au voisinage de $a$ ; sur un voisinage relatif $V$ où c'est le cas, qui relève encore du cadre, posons $t = f/g > 0$. Par Logarithme, (ii), $\ln f = \ln t + \ln g$. Comme dans (vi), $|t - 1|$ est inférieur à tout $\varepsilon > 0$ au voisinage de $a$, et la continuité de $\ln$ en $1$, où il vaut $0$, donne $\ln t = o(1)$.

Si $g \to +\infty$, alors $\ln g \to +\infty$ : pour tout réel $A$, il existe $B$ tel que $\ln x > A$ pour $x \geqslant B$ (Logarithme, (iii)), et $g(x) \geqslant B$ au voisinage de $a$. De même, si $g \to 0$, alors $\ln g \to -\infty$. Dans les deux cas, $|\ln g(x)| \geqslant 1/\varepsilon$ au voisinage de $a$ pour tout $\varepsilon > 0$, c'est-à-dire $1 = o(\ln g)$. Par (i), $\ln f - \ln g = \ln t = o(1) = o(\ln g)$.