Opérations sur les développements limités

(i) C'est le point (ii) du nœud Règles de calcul.

(ii) On écrit $f = P(x - a) + r$ et $g = Q(x - a) + s$, avec $r, s = o\big((x - a)^n\big)$. Alors $$\begin{aligned} fg &= P(x - a)Q(x - a) \\ &\quad + P(x - a)\,s + Q(x - a)\,r + rs. \end{aligned}$$ Les fonctions polynomiales sont continues, donc bornées au voisinage de $a$, et $r$, $s$ le sont aussi, étant des $o(1)$ par troncature (Développement limité, (ii)). Les trois derniers termes sont donc des $o\big((x - a)^n\big)$ par le point (iii) du nœud Règles de calcul, avec $O(1)$ comme second facteur. Enfin $PQ - T_n(PQ)$ est une somme de termes $r_k h^k$ avec $k > n$, chacun $o(h^n)$ en $h = x - a$ (Développement limité, (ii)).

(iii) Écrivons $R(y) = \sum_{j \leqslant n} d_j y^j$. La troncature à l'ordre $0$ montre que $f$ tend vers $P(0) = 0$ en $a$ (Développement limité, (ii) et (iii)) : pour tout voisinage relatif $E \cap \,]{-\eta}, \eta[$ de $0$, la propriété $f(x) \in E \cap \,]{-\eta}, \eta[$ est vraie au voisinage de $a$. Trois étapes.

Le reste de $\varphi$. Par substitution (Règles de calcul, (vii)), $\varphi(f(x)) - R(f(x)) = o\big(f(x)^n\big)$. Comme $P(0) = 0$, on a $P(h) = h\,P_1(h)$ avec $P_1$ polynomiale, donc bornée près de $0$, et $P(x - a) = O(x - a)$ ; le reste de $f$, un $o\big((x - a)^n\big)$, est aussi un $O(x - a)$, puisque $n \geqslant 1$. Ainsi $f = O(x - a)$, $f^n = O\big((x - a)^n\big)$ par produits, et $\varphi(f) - R(f) = o\big((x - a)^n\big)$ par transitivité.

Remplacer $f$ par $P$. Pour $j \geqslant 1$, $f^j - P^j = (f - P)\sum_{i=0}^{j-1} f^i P^{j-1-i}$, où l'on écrit $P$ pour $P(x - a)$. Le premier facteur est un $o\big((x - a)^n\big)$, le second est borné au voisinage de $a$, puisque $f$ et $P(x - a)$ tendent vers $0$. Donc $R(f) - R(P(x - a)) = o\big((x - a)^n\big)$.

Tronquer. $R \circ P$ est une fonction polynomiale, et $R \circ P - T_n(R \circ P)$ est une somme de termes de degré $> n$, négligeables devant $h^n$. En ajoutant les trois relations (Règles de calcul, (ii)), $\varphi(f(x)) = T_n(R \circ P)(x - a) + o\big((x - a)^n\big)$.

(iv) Le développement de $1/(1 - y)$. Pour $y \neq 1$, $(1 - y)\sum_{k=0}^n y^k = 1 - y^{n+1}$, d'où $$\frac{1}{1 - y} = \sum_{k=0}^n y^k + \frac{y^{n+1}}{1 - y}.$$ Pour $|y| \leqslant \frac12$, on a $|1 - y| \geqslant \frac12$, donc $\big|\frac{y^{n+1}}{1 - y}\big| \leqslant 2|y|\,|y|^n$, qui est au plus $\varepsilon|y|^n$ dès que $|y| \leqslant \min(\frac12, \frac\varepsilon2)$ : le dernier terme est un $o(y^n)$ quand $y \to 0$ dans $E = \mathbb R \setminus \{1\}$, auquel $0$ est adhérent.

L'inverse. Posons $c = Q(0) \neq 0$ et $v = 1 - g/c$, qui ne prend jamais la valeur $1$ puisque $g$ ne s'annule pas. Par (i), $v$ admet le DL de partie régulière $1 - Q(x - a)/c$, de terme constant nul. Si $n \geqslant 1$, (iii), appliqué à $v$ et à $\varphi(y) = 1/(1 - y)$, donne un DL à l'ordre $n$ de $1/(1 - v) = c/g$, et $1/g$ s'en déduit par (i). Si $n = 0$, $g$ tend vers $c$, et $1/g$ vers $1/c$ (Limite en un point, (iv)), ce qui est le DL à l'ordre $0$ (Développement limité, (iii)). Enfin $f/g = f \cdot (1/g)$ relève de (ii).