Lemme 1Comparaisons et développements limités

Intégration d'un développement limité

Énoncé

Soit $I$ un intervalle de ${\mathbb R}$ non réduit à un point, $a \in I$ et $F : I \to \mathbb R$ continue sur $I$ et dérivable en tout point de $I \setminus \{a\}$ . Si, pour un entier $n \geqslant 0$ et des réels $c_0, \dots, c_n$ , $F'(x) = \sum_{k=0}^n c_k (x - a)^k + {o}\big((x - a)^n\big)$ quand $x \to a$ , $x \in I \setminus \{a\}$ , alors $F$ admet le DL à l'ordre $n + 1$ $\begin{aligned} F(x) &= F(a) + \sum_{k=0}^n \frac{c_k}{k + 1}(x - a)^{k+1} \\ &\quad + o\big((x - a)^{n+1}\big). \end{aligned}$

Démonstration

Posons, pour $x \in I$ , $G(x) = F(x) - F(a) - \sum_{k=0}^n \frac{c_k}{k + 1}(x - a)^{k+1}.$ La fonction $G$ est continue sur $I$ , dérivable en tout point de $I \setminus \{a\}$ , nulle en $a$ , et sa dérivée y vaut $G'(x) = F'(x) - \sum_k c_k(x - a)^k$ (Opérations, (i) et (iv)). Par hypothèse, $G'(x) = o\big((x - a)^n\big)$ quand $x \to a$ dans $I \setminus \{a\}$ .

Soit $\varepsilon > 0$ , et $\delta > 0$ tel que $|G'(t)| \leqslant \varepsilon\,|t - a|^n$ pour tout $t \in I$ vérifiant $0 < |t - a| < \delta$ . Soit $x \in I$ tel que $0 < |x - a| < \delta$ . Le segment d'extrémités $a$ et $x$ est contenu dans $I$ ; $G$ y est continue, et dérivable en tout point strictement compris entre $a$ et $x$ , puisqu'un tel point diffère de $a$ . L'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis) fournit $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que $G(x) = G(x) - G(a) = G'(c)(x - a)$ . Comme $0 < |c - a| < |x - a| < \delta$ , $|G(x)| \leqslant \varepsilon\,|c - a|^n\,|x - a| \leqslant \varepsilon\,|x - a|^{n+1}.$ L'inégalité vaut aussi en $x = a$ , où $G(a) = 0$ : elle est vraie sur $I \cap \,]a - \delta, a + \delta[$ , et $G(x) = o\big((x - a)^{n+1}\big)$ , ce qui est l'énoncé.

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Remarque

On intègre un développement limité, on ne le dérive pas. La fonction $f(x) = x^3\sin(1/x)$ , prolongée par $f(0) = 0$ , est un $o(x^2)$ en $0$ (Développement limité, deuxième remarque), mais sa dérivée n'est pas un $o(x)$ : $f'(x)/x$ prend les valeurs $-1$ et $1$ aussi près de $0$ qu'on veut. Le lemme va dans un seul sens, de la dérivée vers la fonction, parce que l'égalité des accroissements finis transforme une information sur $F'$ en une information sur $F$ , comme au nœud Inégalité des accroissements finis.

Remarque

Aucune continuité de $F'$ n'est demandée, ni même son existence en $a$ . Si $F'$ est continue, on peut aussi écrire $G(x) = \int_a^x G'$ par le théorème fondamental de l'analyse et majorer l'intégrale ; l'égalité des accroissements finis évite cette hypothèse, et c'est elle qui permet la formule de Taylor-Young sous la plus faible des hypothèses usuelles, au nœud Taylor-Young.

Remarque

Appliqué à $F(x) = \ln(1 + x)$ , dont la dérivée $1/(1 + x)$ a un développement donné par une identité algébrique, le lemme donne le DL du logarithme à tout ordre ; appliqué à l'arc tangente, de dérivée $1/(1 + x^2)$ , celui de $\arctan$ . C'est ce que fait le nœud Développements usuels.

Repose sur

Développement limité à l'ordre n

Sert à

Formule de Taylor-Young à une variable