Proposition 4Comparaisons et développements limités

Étude locale : position par rapport à la tangente, extremums

Énoncé

Soit $I$ un intervalle de ${\mathbb R}$ , $a$ un point de $I$ qui n'en est pas une extrémité, et $f : I \to \mathbb R$ admettant en $a$ un DL de la forme $f(x) = c_0 + c_1(x - a) + c_p(x - a)^p + {o}\big((x - a)^p\big),$ avec un entier $p \geqslant 2$ et $c_p \neq 0$ . Alors $f$ est dérivable en $a$ , $c_0 = f(a)$ et $c_1 = f'(a)$ ; on note $T(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ .

(i) Position par rapport à la tangente. Il existe $r > 0$ tel que, pour tout $x \in I$ vérifiant $0 < |x - a| < r$ , le réel $f(x) - T(x)$ soit non nul et du signe de $c_p(x - a)^p$ . Si $p$ est pair, le graphe de $f$ est donc, près du point de contact et hors de lui, au-dessus de sa tangente si $c_p > 0$ , au-dessous si $c_p < 0$ ; si $p$ est impair, il la traverse.

(ii) Extremum. Supposons $f'(a) = 0$ . Si $p$ est pair, $f$ admet en $a$ un minimum local strict si $c_p > 0$ , c'est-à-dire que $f(x) > f(a)$ pour $0 < |x - a| < r$ , et un maximum local strict si $c_p < 0$ . Si $p$ est impair, $f$ n'a pas d'extremum local en $a$ .

(iii) Critère de la dérivée seconde. Si $f$ est dérivable sur $I$ , si $f'$ est dérivable en $a$ , si $f'(a) = 0$ et $f''(a) > 0$ , alors $f$ admet un minimum local strict en $a$ ; si $f''(a) < 0$ , un maximum local strict.

Démonstration

Par troncature à l'ordre $1$ et par le point (iii) du nœud Développement limité, $f$ est dérivable en $a$ , avec $c_0 = f(a)$ et $c_1 = f'(a)$ .

(i) On a $f(x) - T(x) = c_p(x - a)^p + o\big((x - a)^p\big)$ , donc $f(x) - T(x) \mathrel{{\sim}} c_p(x - a)^p$ (Développement limité, (v)). Par le point (v) du nœud Règles de calcul, il existe $r > 0$ tel que, pour $x \in I$ et $|x - a| < r$ , les deux membres soient de même signe strict ou nuls ensemble ; pour $x \neq a$ , $c_p(x - a)^p$ n'est pas nul. Si $p$ est pair, $(x - a)^p > 0$ pour $x \neq a$ ; si $p$ est impair, $(x - a)^p$ a le signe de $x - a$ , et, comme $a$ n'est pas une extrémité de $I$ , il y a des points de $I$ de chaque côté de $a$ à moins de $r$ .

(ii) Si $f'(a) = 0$ , la tangente est la fonction constante $f(a)$ , et (i) s'applique à $f(x) - f(a)$ . Si $p$ est pair, $f(x) - f(a)$ a le signe de $c_p$ pour $0 < |x - a| < r$ . Si $p$ est impair, tout intervalle $]a - r', a + r'[$ , avec $0 < r' \leqslant r$ , contient des points de $I$ où $f(x) > f(a)$ et d'autres où $f(x) < f(a)$ : il n'y a ni maximum ni minimum local en $a$ .

(iii) La formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ (Taylor-Young) s'écrit $f(x) = f(a) + \frac{f''(a)}2 (x - a)^2 + o\big((x - a)^2\big)$ , et (ii) s'applique avec $p = 2$ et $c_2 = f''(a)/2$ .

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Remarque

Comme $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ (Cosinus et sinus sur ℝ, (iii)), avec $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$ , les dérivées successives de $\cos$ en $0$ valent $1$ , $0$ , $-1$ , $0$ , et celles de $\sin$ valent $0$ , $1$ , $0$ , $-1$ , $0$ ; la formule de Taylor-Young (Taylor-Young) donne $\cos x = 1 - \frac{x^2}2 + o(x^3)$ et $\sin x = x - \frac{x^3}6 + o(x^4)$ . Le cosinus, avec $p = 2$ et $c_2 = -\frac12$ , est au-dessous de sa tangente horizontale $y = 1$ et y atteint un maximum local strict ; le sinus, avec $p = 3$ et $c_3 = -\frac16$ , traverse sa tangente $y = x$ , au-dessous pour $x > 0$ et au-dessus pour $x < 0$ .

À gauche, le cosinus, en rouge, reste sous sa tangente horizontale

y = 1

, en bleu, et la parabole

y = 1 - x^2/2

, en vert, en pointillé, l'épouse près de

0

. À droite, le sinus traverse sa tangente

y = x

0

: l'écart

\sin x - x

, voisin de

-x^3/6

, est négatif à droite et positif à gauche.

Remarque

Quand $f''(a) = 0$ , le critère (iii) ne conclut pas, et il faut aller plus loin dans le développement. En $0$ , les fonctions $x^3$ , $x^4$ et $-x^4$ ont toutes une dérivée et une dérivée seconde nulles ; la première n'a pas d'extremum ( $p = 3$ ), la deuxième a un minimum strict et la troisième un maximum strict ( $p = 4$ ). C'est la condition suffisante qui manquait au nœud Extremum local, où un zéro de la dérivée n'était qu'un candidat ; en plusieurs variables, la matrice hessienne joue le rôle de $f''(a)$ (Points critiques).

Remarque

La même méthode étudie une fonction en $+\infty$ par un développement en puissances de $1/x$ . Pour $x > 0$ , $\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + u}$ avec $u = 1/x \to 0$ , et le DL $(1 + u)^{1/2} = 1 + \frac u2 - \frac{u^2}8 + o(u^2)$ , que donne la formule de Taylor-Young puisque les dérivées de $(1 + u)^{1/2}$ valent $\frac12$ et $-\frac14$ en $0$ (Puissances réelles, (iii)), par substitution (Règles de calcul, (vii)) puis multiplication par $x$ (même nœud, (iii)), donne $\sqrt{x^2 + x} = x + \frac12 - \frac1{8x} + o\Big(\frac1x\Big).$ La droite $y = x + \frac12$ est donc asymptote au graphe, et celui-ci est au-dessous d'elle pour $x$ assez grand, l'écart étant équivalent à $-\frac1{8x}$ .

Repose sur

Formule de Taylor-Young à une variable

Sert à

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