Opérateurs diagonaux et opérateurs à noyau

(i) Soit $M = \sup_n |a_n|$. Pour $x \in \ell^2$, on a $\sum_n a_n^2 x_n^2 \leqslant M^2 \|x\|^2$, si bien que $D_a(x) \in \ell^2$ et $\|D_a(x)\| \leqslant M\|x\|$. L'opérateur $D_a$, linéaire, est donc continu, de norme au plus $M$, et au moins chaque $|a_n| = \|D_a(e_n)\|$. Pour $x, y \in \ell^2$, $\langle D_a(x), y \rangle = \sum_n a_n x_n y_n = \langle x, D_a(y) \rangle$.

Si $a_n \to 0$. Pour $N \in \mathbb N$, soit $D_N$ l'opérateur diagonal associé à la suite $(a_0, \dots, a_{N-1}, 0, 0, \dots)$, dont l'image est contenue dans le sous-espace engendré par $e_0, \dots, e_{N-1}$. L'opérateur $D_a - D_N$ est diagonal, associé à la suite nulle jusqu'au rang $N - 1$ puis égale à $(a_n)$, et sa norme $\sup_{n \geqslant N} |a_n|$ tend vers $0$. Le point (ii) du nœud Opérateurs compacts, appliqué aux familles $(e_0, \dots, e_{N-1})$, montre que $D_a$ est compact.

Si $(a_n)$ ne tend pas vers $0$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que l'ensemble $I$ des $n$ vérifiant $|a_n| \geqslant \varepsilon$ soit infini.

Si $D_a$ était compact, l'adhérence de l'image de la boule unité serait contenue dans un nombre fini de boules $B(c_1, \varepsilon/\sqrt2), \dots, B(c_m, \varepsilon/\sqrt2)$ (Parties précompactes, (i)). Or, pour $n \neq p$ dans $I$, $$\|D_a(e_n) - D_a(e_p)\|^2 = a_n^2 + a_p^2 \geqslant 2\varepsilon^2,$$ alors que deux points d'une même boule sont à distance $< \sqrt2\,\varepsilon$. En associant à $n \in I$ le plus petit indice $i$ tel que $D_a(e_n) \in B(c_i, \varepsilon/\sqrt2)$, on obtiendrait une injection de l'ensemble infini $I$ dans $\{1, \dots, m\}$.

(ii) La partie $[0, 1]^2$ est fermée et bornée dans $\mathbb R^2$, donc compacte (L'espace ℝⁿ, (iii)) ; soit $M$ le maximum de $|K|$ (Compacts de ℝ, (iii)). Soit $f \in L^2$, dont on fixe un représentant. Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à $|f|$ et à la constante $1$ (Espaces L¹ et L², (i)), $f$ est intégrable et $\|f\|_1 \leqslant \|f\|_2$.

Pour $x$ fixé, la fonction $y \mapsto K(x, y)$ est continue, donc mesurable, et bornée par $M$ : le produit $y \mapsto K(x, y) f(y)$ est intégrable (Fonctions mesurables, (iii)), et $T_K f(x)$ ne dépend pas du représentant de $f$ (Fonctions intégrables, (iii)).

Par le théorème de Heine (Théorème de Heine), $K$ est uniformément continue : pour $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|K(p) - K(q)| < \varepsilon$ dès que $d_\infty(p, q) < \delta$.

Pour $|x - x'| < \delta$, on a donc $$\begin{aligned} &|T_K f(x) - T_K f(x')| \\ &\quad \leqslant \int_0^1 |K(x, y) - K(x', y)|\,|f(y)| \, dy \\ &\quad \leqslant \varepsilon\|f\|_1. \end{aligned}$$ Ainsi $T_K f$ est continue, donc mesurable, et bornée par $M\|f\|_1$ ; elle appartient à $L^2$, et $\|T_K f\|_2 \leqslant M\|f\|_1 \leqslant M\|f\|_2$, la mesure de $[0, 1]$ valant $1$. L'application $T_K$ est linéaire, comme l'intégrale (Fonctions intégrables, (i)) : c'est un opérateur continu de norme au plus $M$.

Approximations. Pour $m \geqslant 1$ entier et $k < m$, soit $J_k = [\frac km, \frac{k+1}m[$ ; ces intervalles forment une partition de $[0, 1[$, puisque $x$ appartient au seul $J_k$ d'indice $k = \lfloor mx \rfloor$. Notons $\kappa_{kl} = K\big(\frac km, \frac lm\big)$, et posons $$T_m f = \sum_{k < m} \Big(\sum_{l < m} \kappa_{kl} \int_{J_l} f\Big)\, \mathbf 1_{J_k}.$$ C'est un opérateur continu de $L^2$, puisque $|T_m f| \leqslant M\|f\|_1$, et son image est contenue dans le sous-espace engendré par les $m$ fonctions $\mathbf 1_{J_k}$.

Soit $\varepsilon$ et $\delta$ comme ci-dessus, et $m > 1/\delta$. Pour $x \in J_k$ et $y \in J_l$, on a $d_\infty\big((x, y), (\frac km, \frac lm)\big) < \frac1m < \delta$. Le point $1$ étant négligeable, il vient, pour $x \in J_k$, $$\begin{aligned} &|T_K f(x) - T_m f(x)| \\ &\quad = \Big|\sum_{l < m} \int_{J_l} \big(K(x, y) - \kappa_{kl}\big) f(y) \, dy\Big| \\ &\quad \leqslant \varepsilon\|f\|_1 \leqslant \varepsilon\|f\|_2. \end{aligned}$$ Donc $|||T_K - T_m||| \leqslant \varepsilon$ : la suite $(T_m)$ tend vers $T_K$, et le point (ii) du nœud Opérateurs compacts, appliqué aux familles $(\mathbf 1_{J_0}, \dots, \mathbf 1_{J_{m-1}})$, montre que $T_K$ est compact.

Symétrie. Si $K$ est symétrique, $$\langle T_m f, g \rangle = \sum_{k, l < m} \kappa_{kl} \int_{J_l} f \int_{J_k} g$$ ne change pas quand on échange $f$ et $g$, en échangeant aussi $k$ et $l$. Comme $|\langle (T_K - T_m)f, g \rangle| \leqslant |||T_K - T_m|||\,\|f\|_2\|g\|_2$, on obtient à la limite $\langle T_K f, g \rangle = \langle f, T_K g \rangle$.