Théorème 7Modules sur un anneau principal

Groupes abéliens de type fini

Soit $G$ un groupe abélien, noté additivement. Pour $x \in G$ et $n \in {\mathbb Z}$ , le multiple $nx$ est défini par récurrence pour $n \geqslant 0$ , avec $0x = 0$ et $(n + 1)x = nx + x$ , et par $(-n)x = -(nx)$ . Les règles $(m + n)x = mx + nx$ , $(mn)x = m(nx)$ , $n(x + y) = nx + ny$ et $1x = x$ s'obtiennent par récurrence sur $n \geqslant 0$ , puis par passage aux opposés, la troisième grâce à la commutativité.

Elles font de $G$ un \mathbb Z-module, dont les sous-modules sont les sous-groupes. Le groupe $G$ est de type fini s'il est engendré par une partie finie, c'est-à-dire s'il est un $\mathbb Z$ -module de type fini. Un élément $x$ est d'ordre fini si $nx = 0$ pour un $n \neq 0$ , c'est-à-dire s'il est de torsion.

Énoncé

(i) Tout groupe abélien de type fini $G$ est isomorphe à $\mathbb Z^r \times \mathbb Z/d_1\mathbb Z \times \cdots \times \mathbb Z/d_k\mathbb Z,$ avec des entiers $d_i \geqslant 2$ tels que $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_k$ . Les entiers $r$ , $k$ et $d_1, \dots, d_k$ sont uniques.

(ii) Les éléments d'ordre fini forment un sous-groupe fini de cardinal $d_1 \cdots d_k$ , et $G$ est fini si et seulement si $r = 0$ .

(iii) Tout sous-groupe de $\mathbb Z^n$ est isomorphe à $\mathbb Z^k$ pour un $k \leqslant n$ , et tout sous-groupe d'un groupe abélien de type fini est de type fini.

(iv) Tout groupe abélien de type fini est isomorphe à un produit $\mathbb Z^r \times \prod_l \mathbb Z/p_l^{b_l}\mathbb Z$ , avec des $p_l$ premiers et des $b_l \geqslant 1$ , de façon unique à l'ordre près.

Aucune forme du choix n'intervient.

Démonstration

L'anneau $\mathbb Z$ est euclidien pour la valeur absolue (Division euclidienne), donc principal (Opérations élémentaires, (iv)), et ses éléments se décomposent sans choix en produits de nombres premiers (Nombres premiers).

(i) Théorème de structure, (ii), donne l'existence sans choix, et Unicité, (v), l'unicité, aussi sans choix. Les associés de $d$ sont $\pm d$ : on choisit $d_i > 0$ , et un entier positif non nul non inversible est au moins $2$ .

(ii) Par Théorème de structure, (iv), le sous-groupe de torsion correspond à $\prod_i \mathbb Z/d_i\mathbb Z$ , qui a $d_1 \cdots d_k$ éléments (ℤ/nℤ). Si $r \geqslant 1$ , les éléments $(m, 0, \dots, 0)$ , $m \in \mathbb Z$ , sont deux à deux distincts, et $G$ est infini.

(iii) C'est Sous-modules de Aⁿ, (i) et (ii), pour $A = \mathbb Z$ .

(iv) C'est Diviseurs élémentaires, (iv), dont l'existence est ici sans choix, et dont les irréductibles sont, au signe près, les nombres premiers.

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Remarque

Le sous-groupe de $\mathbb Z^2$ engendré par $(2, 4)$ a pour base adaptée $f_1 = (1, 2)$ , $f_2 = (0, 1)$ , puisque $(2, 4) = 2f_1$ . Donc $\mathbb Z^2/\mathbb Z(2, 4) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z$ : la classe de $(1, 2)$ est d'ordre $2$ , celle de $(0, 1)$ d'ordre infini.

L'erreur la plus répandue est de lire le quotient sur les coordonnées, comme s'il valait $\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z$ : c'est la base adaptée, et non la base canonique, qui découpe le quotient.

Remarque

Pour les groupes finis, (i) et (iv) redonnent la classification du nœud Groupes abéliens finis, démontrée là sans module, par le lemme du supplémentaire d'un élément d'ordre maximal. La remarque de ce nœud sur les facteurs invariants y trouve sa démonstration.

Par exemple, les groupes abéliens d'ordre $144 = 2^4 \cdot 3^2$ correspondent aux couples formés d'une partition de $4$ et d'une partition de $2$ : il y en a $5 \times 2 = 10$ , dont $\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/6\mathbb Z \times \mathbb Z/12\mathbb Z$ , celui du nœud Théorème de structure.

Remarque

La finitude du type est indispensable. Le groupe additif du corps des fractions de $\mathbb Z$ n'est pas de type fini (Sous-modules de Aⁿ) ; il est sans torsion sans être isomorphe à aucun $\mathbb Z^r$ .

Repose sur

Diviseurs élémentaires

Sert à

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