Un anneau principal est factoriel ; relation de Bézout ⋆

(i) Soit $p$ irréductible ; $pA \neq A$ puisque $p$ n'est pas inversible. Si $J$ est un idéal tel que $pA \subsetneq J$, écrivons $J = aA$ ; alors $p = ab$, et $a$ n'est pas associé à $p$, sinon $J = pA$. L'irréductibilité donne $a$ ou $b$ inversible ; si $b$ l'était, $a$ serait associé à $p$ ; donc $a$ est inversible et $J = A$ : $pA$ est maximal.

Un idéal maximal est premier (Idéaux premiers, maximaux, (iii)). Si $pA$ est premier, $p$ est premier, donc irréductible (Divisibilité, (ii) et (iii)). Enfin un idéal premier non nul s'écrit $pA$ avec $p \neq 0$, et il est maximal.

(ii) Soit $\mathcal E$ l'ensemble des idéaux $aA$ où $a$ est non nul et n'admet pas d'écriture $u\,p_1 \cdots p_r$. Supposons-le non vide ; par la condition maximale (Anneaux noethériens, (ii)), il a un élément maximal $aA$.

L'élément $a$ n'est pas inversible, sans quoi l'écriture $a = a$, avec $r = 0$, conviendrait, ni irréductible, sans quoi $a = 1 \cdot a$ conviendrait ; donc $a = bc$ avec $b$ et $c$ non inversibles, tous deux non nuls.

On a $aA \subsetneq bA$ : l'inclusion est claire, et l'égalité donnerait $b = ad = bcd$, puis $cd = 1$ par intégrité, alors que $c$ n'est pas inversible. De même $aA \subsetneq cA$. Par maximalité, $bA$ et $cA$ ne sont pas dans $\mathcal E$ : $b$ et $c$ s'écrivent comme annoncé, et leur produit $a$ aussi, ce qui contredit $aA \in \mathcal E$.

(iii) Un anneau principal est noethérien (Anneaux noethériens, (iii)), et (ii) fournit les écritures. Par (i), tout irréductible $p$ engendre un idéal premier, donc est premier (Divisibilité, (ii)), et l'unicité découle de Anneaux factoriels, (i).

(iv) Un anneau principal vérifie la relation de Bézout. Ce sens n'emploie pas la factorialité. Soient $a, b \in A$. L'idéal $aA + bA$ (Idéal, (iii)) s'écrit $dA$, et $d = au + bv$ pour certains $u, v \in A$. Comme $a$ et $b$ appartiennent à $dA$, l'élément $d$ les divise. Si $c$ divise $a$ et $b$, alors $aA$ et $bA$ sont contenus dans l'idéal $cA$, donc aussi leur somme $dA$, et $c$ divise $d$ : $d$ est un PGCD de $(a, b)$. Un autre PGCD $d'$ divise $d$ et en est divisé, donc lui est associé, $d' = wd$ avec $w$ inversible (Divisibilité, (i)), et $d' = a(wu) + b(wv)$.

Un anneau factoriel qui vérifie la relation de Bézout est principal. Pour $x \in A$ non nul, notons $\ell(x)$ le nombre $r$ de facteurs irréductibles d'une écriture $x = u\,p_1 \cdots p_r$, bien défini par l'unicité des écritures. Le produit d'une écriture de $x$ et d'une écriture de $y$ en est une de $xy$, si bien que $\ell(xy) = \ell(x) + \ell(y)$ pour $x, y$ non nuls ; et $\ell(x) = 0$ si et seulement si $x$ est inversible (Anneaux factoriels).

Soit $I$ un idéal de $A$. S'il est nul, $I = 0A$. Sinon, les entiers $\ell(x)$, pour $x \in I$ non nul, forment une partie non vide de ${\mathbb N}$, qui a un plus petit élément $m$ ; soit $a \in I$ non nul tel que $\ell(a) = m$. Montrons que $I = aA$ ; l'inclusion $aA \subset I$ est claire.

Soit $b \in I$, et $d = au + bv$ un PGCD de $(a, b)$ ; il appartient à $I$. Il divise $a$, qui est non nul, donc $d \neq 0$, et $a = de$ pour un $e \in A$, non nul puisque $a$ l'est. Alors $m = \ell(a) = \ell(d) + \ell(e)$, avec $\ell(d) \geqslant m$ par minimalité, d'où $\ell(e) = 0$ : $e$ est inversible. Par suite $a$ et $d$ sont associés, et $a$ divise $b$, puisque $d$ le divise. Donc $b \in aA$, et $I = aA$ est principal.