Si A est factoriel, A[X] l'est aussi

(i) Les inversibles de $A[X]$ sont ceux de $A$ (Anneau A[X], (iii)).

Les irréductibles de $A$. Si $p \in A$ est irréductible dans $A$, une écriture $p = FG$ dans $A[X]$ impose $\deg F = \deg G = 0$, et c'est une écriture dans $A$ : $p$ est irréductible dans $A[X]$. Il y est premier : il l'est dans $A$, et s'il divise $FG$, il divise tous les coefficients de $FG$, donc, par l'outil de la preuve de Contenu, lemme de Gauss, $F$ ou $G$.

Les primitifs irréductibles sur $K$. Soit $P$ primitif de degré au moins $1$, irréductible dans $K[X]$. Si $P = FG$ dans $A[X]$, l'un des facteurs, disons $F$, est de degré $0$ par irréductibilité dans $K[X]$ : c'est une constante $a \in A$ qui divise tous les coefficients de $P$, donc $c(P)$, et $a$ est inversible. Ainsi $P$ est irréductible dans $A[X]$.

Il y est premier : si $P$ divise $FG$ dans $A[X]$, il le divise dans $K[X]$, où il est premier (Irréductibles, (i)) ; disons $F = PH$ avec $H \in K[X]$, et $F \neq 0$, le cas $F = 0$ étant clair.

Écrivons $H = \lambda H_0$ par Contenu, lemme de Gauss, (ii), puis $\lambda = a/b$ avec $a, b \in A$, $b \neq 0$ : $bF = a\,PH_0$, où $PH_0$ est primitif par le même nœud, (i). Les contenus donnent $a$ associé à $b\,c(F)$, soit $a = w\,b\,c(F)$ avec $w$ inversible, donc $\lambda = w\,c(F) \in A$, et $H = \lambda H_0 \in A[X]$ : $P$ divise $F$ dans $A[X]$.

Il n'y en a pas d'autres. Soit $F$ irréductible dans $A[X]$. Si $\deg F = 0$, c'est un élément de $A$, irréductible dans $A$, les inversibles étant les mêmes. Si $\deg F \geqslant 1$, l'écriture $F = c(F)\,F_0$ et l'irréductibilité imposent $c(F)$ inversible, $F_0$ ne l'étant pas : $F$ est primitif.

Si l'on avait $F = GH$ dans $K[X]$ avec $\deg G, \deg H \geqslant 1$, on écrirait $G = \lambda G_0$ et $H = \mu H_0$ par Contenu, lemme de Gauss, (ii) ; $G_0H_0$ est primitif par le même nœud, (i), et l'unicité de ce même point (ii), appliquée à $$F = (\lambda\mu)\,G_0H_0 = 1 \cdot F,$$ donne $F = u\,G_0H_0$ avec $u \in A^\times$ : une factorisation de $F$ en deux non-inversibles de $A[X]$, ce qui est exclu.

(ii) Existence des écritures. Par récurrence sur le degré, montrons que tout $F \in A[X]$ non nul est produit d'un inversible et d'irréductibles. On écrit $F = c(F)\,F_0$ (Contenu, lemme de Gauss, (i)) ; la constante $c(F)$ s'écrit ainsi dans $A$, donc dans $A[X]$ par (i).

Si $F_0$ est inversible ou irréductible, c'est fini. Sinon $F_0 = GH$ avec $G$, $H$ non inversibles ; aucun n'est une constante, car une constante qui divise $F_0$ divise $c(F_0)$, inversible, et serait inversible. Donc $\deg G, \deg H \geqslant 1$, et ces degrés sont strictement inférieurs à $\deg F$ : l'hypothèse de récurrence s'applique à $G$ et $H$.

Unicité. Tout irréductible de $A[X]$ est premier par (i), et Anneaux factoriels, (i), conclut.

La dernière assertion s'obtient par récurrence sur $n$, puisque $A[X_1, \dots, X_n] = A[X_1, \dots, X_{n-1}][X_n]$ (Évaluation, (iii)), en partant de $\mathbb Z$ ou d'un corps $K$.

L'anneau $\mathbb Z$ est factoriel par Anneaux factoriels, (i), puisque ses irréductibles sont les $\pm p$, $p$ premier, qui sont premiers par le lemme d'Euclide, et que tout entier non nul est $\pm 1$ fois un produit de nombres premiers (Nombres premiers, (i) et (ii)).

Un corps $K$ est trivialement factoriel : ses éléments non nuls sont inversibles, il n'a aucun irréductible, et toutes les écritures ont $r = 0$.