Anneaux factoriels et PGCD

(i) Si les irréductibles sont premiers. Montrons, par récurrence sur $r$, que $u\,p_1 \cdots p_r = v\,q_1 \cdots q_s$ entraîne $r = s$ et l'appariement annoncé.

Si $r = 0$, l'élément $v\,q_1 \cdots q_s = u$ est inversible ; si l'on avait $s \geqslant 1$, $q_1$ diviserait un inversible, donc serait inversible, ce qui est exclu : $s = 0$.

Si $r \geqslant 1$, $p_r$ est premier et divise $v\,q_1 \cdots q_s$ ; par récurrence sur le nombre de facteurs, il divise l'un d'eux, qui n'est pas l'inversible $v$, soit $q_j$. Écrivons $q_j = p_rc$ ; comme $q_j$ est irréductible et $p_r$ non inversible, $c$ est inversible : $q_j$ et $p_r$ sont associés (Divisibilité, (i)). En simplifiant par $p_r$, ce que permet l'intégrité, $$u\,p_1 \cdots p_{r-1} = (vc)\prod_{k \neq j} q_k,$$ et l'hypothèse de récurrence conclut.

Si $A$ est factoriel. Soit $p$ irréductible, divisant $ab$ : $ab = pc$. Si $a = 0$, $p \mid a$ ; de même si $b = 0$. Sinon $c \neq 0$, et l'on écrit $a$, $b$ et $c$ comme produits d'un inversible et d'irréductibles. Les égalités $ab = pc$ donnent deux écritures du même élément ; par unicité, $p$ est associé à l'un des facteurs irréductibles de $a$ ou de $b$, donc divise $a$ ou $b$.

(ii) Deux PGCD se divisent l'un l'autre, donc sont associés. Pour l'existence, il suffit de traiter deux éléments : si $d'$ est un PGCD de $(a_1, \dots, a_{n-1})$, un PGCD de $(d', a_n)$ en est un de $(a_1, \dots, a_n)$, puisque les diviseurs communs des $a_i$ sont ceux de $d'$ et de $a_n$.

Si $a = 0$, $b$ est un PGCD de $(a, b)$. Pour $a \neq 0$, notons $\ell(a)$ le nombre $r$ de facteurs irréductibles de $a$, bien défini par unicité, et raisonnons par récurrence sur $\ell(a)$. Si $\ell(a) = 0$, $a$ est inversible et $1$ convient. Sinon, soit $p$ un facteur irréductible de $a$, $a = pa'$ avec $\ell(a') = \ell(a) - 1$.

On utilise le fait suivant : si $c \mid px$ et $p \nmid c$, alors $c \mid x$. En effet, $px = ce$, et $p$, premier par (i), divise $c$ ou $e$ ; donc $e = pe'$, et $x = ce'$ après simplification par $p$.

Si $p \mid b$, écrivons $b = pb'$, et soit $d'$ un PGCD de $(a', b')$, qui existe par hypothèse de récurrence ; montrons que $pd'$ est un PGCD de $(a, b)$. Il divise $a$ et $b$. Soit $c$ un diviseur commun. Si $p \mid c$, $c = pc'$, et $c'$ divise $a'$ et $b'$, après simplification par $p$, donc $d'$, et $c \mid pd'$. Sinon, le fait ci-dessus donne $c \mid a'$ et $c \mid b'$, donc $c \mid d' \mid pd'$.

Si $p \nmid b$, soit $d'$ un PGCD de $(a', b)$ ; il divise $a$ et $b$. Un diviseur commun $c$ de $a$ et $b$ n'est pas multiple de $p$, sinon $p \mid b$ ; il divise donc $a'$, par le fait ci-dessus, puis $d'$.

(iii) L'élément $ad$ divise chaque $ab_i$. Soit $e$ un PGCD des $ab_i$ ; alors $ad \mid e$, et l'on écrit $e = adf$. Comme $e \mid ab_i$, on a $adf \mid ab_i$, puis $df \mid b_i$ après simplification par $a$, pour tout $i$ ; donc $df \mid d$, soit $d = dfg$.

Si $d \neq 0$, $fg = 1$ et $f$ est inversible, de sorte que $ad$ est associé à $e$, donc est un PGCD. Si $d = 0$, tous les $b_i$ sont nuls, et $ad = 0$ est un PGCD des $ab_i = 0$.