Lemme 1Algèbre commutative

Contenu et lemme de Gauss sur un anneau factoriel

Soit $A$ un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions (Corps des fractions), dans lequel on identifie $a \in A$ à $a/1$ , de sorte que ${A[X]} \subset K[X]$ .

Le contenu $c(P)$ d'un polynôme non nul $P \in A[X]$ est un PGCD de ses coefficients (Anneaux factoriels, (ii)), défini à un inversible près ; $P$ est primitif si $c(P)$ est inversible.

Pour un élément premier $p$ de $A$ , la réduction modulo $p$ est le morphisme $\pi_p : A[X] \to (A/pA)[X]$ qui réduit chaque coefficient (Évaluation, (i)).

Énoncé

(i) Tout $P \in A[X]$ non nul s'écrit $P = c(P)\,P_0$ avec $P_0$ primitif. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif, et $c(PQ)$ est associé à $c(P)\,c(Q)$ .

(ii) Tout $P \in K[X]$ non nul s'écrit $\lambda P_0$ , avec $\lambda \in K$ non nul et $P_0 \in A[X]$ primitif ; $P_0$ est unique à un inversible de $A$ près.

Démonstration

Un outil. Si $p \in A$ est premier, $A/pA$ est intègre (Divisibilité, (ii), et Idéaux premiers, maximaux, (i)), donc $(A/pA)[X]$ aussi (Anneau A[X], (iii)). Le noyau de $\pi_p$ est formé des polynômes dont $p$ divise tous les coefficients. Ainsi, si $p$ divise tous les coefficients de $FG$ , il divise tous ceux de $F$ ou tous ceux de $G$ .

(i) Soit $c = c(P)$ et $a_k = cb_k$ . Par Anneaux factoriels, (iii), $c \cdot c(P_0)$ est un PGCD des $a_k$ , donc associé à $c$ , et $c(P_0)$ est inversible après simplification par $c \neq 0$ .

Soient $P$ et $Q$ primitifs. Le produit $PQ$ est non nul ; si $c(PQ)$ n'était pas inversible, il aurait un facteur irréductible $p$ , premier puisque $A$ est factoriel (Anneaux factoriels, (i)), qui diviserait tous les coefficients de $PQ$ , donc, par l'outil, tous ceux de $P$ ou tous ceux de $Q$ : il diviserait $c(P)$ ou $c(Q)$ , et serait inversible.

En général, $PQ = c(P)c(Q)\,P_0Q_0$ avec $P_0Q_0$ primitif, et l'on applique encore Anneaux factoriels, (iii).

(ii) Soit $v \neq 0$ le produit des dénominateurs d'écritures des coefficients de $P$ ; alors $vP \in A[X]$ , et $vP = c(vP)\,P_0$ par (i), d'où $\lambda = c(vP)/v$ .

Si $\lambda P_0 = \mu Q_0$ avec $Q_0$ primitif, écrivons $\mu/\lambda = a/b$ avec $a, b \in A$ non nuls ; alors $bP_0 = aQ_0$ dans $A[X]$ , et les contenus, associés à $b$ et à $a$ par (i), donnent $a = ub$ avec $u$ inversible. Il reste $bP_0 = ubQ_0$ , et $P_0 = uQ_0$ par intégrité.

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Remarque

C'est la généralisation du nœud Lemme de Gauss, écrit pour $\mathbb Z$ : le nombre premier $p$ y est remplacé par un élément premier de $A$ , le PGCD des entiers par celui de l'anneau factoriel. La démonstration est la même, ce qui montre qu'elle n'utilisait de $\mathbb Z$ que sa factorialité.

Repose sur

Anneaux factoriels et PGCD

Sert à

Si A est factoriel, A[X] l'est aussi