Anneaux noethériens ⋆

(i) La réunion $J$ des $I_n$ est un idéal : deux de ses éléments appartiennent à un même $I_n$, la suite étant croissante, et leur différence aussi, ainsi que leurs multiples. Écrivons $J = a_1A + \cdots + a_kA$, et $a_i \in I_{n_i}$. Pour $N = \max_i n_i$, tous les $a_i$ sont dans $I_N$, donc $J \subset I_N \subset I_n \subset J$ pour $n \geqslant N$.

(ii) Soit $\mathcal E$ un ensemble non vide d'idéaux sans élément maximal. Pour tout $I \in \mathcal E$, l'ensemble des $J \in \mathcal E$ tels que $I \subsetneq J$ est non vide ; le choix dépendant fournit une suite $I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq \cdots$ d'éléments de $\mathcal E$, qui n'est pas stationnaire.

Pour la seconde assertion, soit $I$ un idéal et $\mathcal E$ l'ensemble des idéaux de type fini contenus dans $I$, qui contient $\{0\}$. Soit $J$ un élément maximal. Si l'on avait $J \neq I$, pour $a \in I \setminus J$, l'idéal $J + aA$ serait de type fini, contenu dans $I$, et contiendrait strictement $J$ : contradiction. Donc $I = J$ est de type fini.

(iii) Dans un anneau principal, tout idéal est engendré par un élément ; c'est le cas d'un corps, dont les seuls idéaux sont $\{0\}$ et $K$ (Corps), de $\mathbb Z$ (Idéaux de ℤ) et de $K[X]$ (K[X] principal).

Soit $\pi : A \to A/I$ la surjection canonique et $\bar J$ un idéal de $A/I$. L'image réciproque $\pi^{-1}(\bar J)$ est un idéal de $A$, comme on le vérifie sur les définitions ; elle s'écrit $a_1A + \cdots + a_kA$, et, $\pi$ étant surjective, $$\begin{aligned} \bar J &= \pi(\pi^{-1}(\bar J)) \\ &= \pi(a_1)(A/I) + \cdots + \pi(a_k)(A/I). \end{aligned}$$