Théorème de la base de Hilbert

Soit $I$ un idéal de $A[X]$. Pour $d \in {\mathbb N}$, soit $L_d$ l'ensemble formé de $0$ et des coefficients dominants des éléments de $I$ de degré $d$.

Chaque $L_d$ est un idéal, et $L_d \subset L_{d+1}$. Soient $a, b \in L_d$, coefficients d'indice $d$ de polynômes $P, Q \in I$ de degré au plus $d$ (on prend $P = 0$ si $a = 0$). Le polynôme $P - Q$ est dans $I$, de degré au plus $d$, de coefficient d'indice $d$ égal à $a - b$ : si $a - b \neq 0$, c'est son coefficient dominant, et $a - b \in L_d$ ; de même $ca$ est le coefficient d'indice $d$ de $cP$.

Enfin $XP \in I$ a pour coefficient dominant celui de $P$, en degré $d + 1$.

Des générateurs en nombre fini. La suite croissante $(L_d)$ est stationnaire (Anneaux noethériens, (i)) : $L_d = L_N$ pour $d \geqslant N$.

Pour chaque $d \leqslant N$, l'idéal $L_d$ est de type fini ; on fixe des générateurs non nuls $a_{d,1}, \dots, a_{d,k_d}$, et pour chacun un polynôme $P_{d,j} \in I$ de degré $d$ et de coefficient dominant $a_{d,j}$. Ce sont des choix en nombre fini. Soit $J$ l'idéal engendré par les $P_{d,j}$ ; on a $J \subset I$.

L'égalité $I = J$. Montrons que tout $F \in I$ appartient à $J$, par récurrence sur son degré, le polynôme nul étant dans $J$.

Soit $F \in I$ de degré $m$ et de coefficient dominant $c \in L_m$. Posons $d = \min(m, N)$ : alors $L_m = L_d$, et $c = \sum_j u_ja_{d,j}$ avec $u_j \in A$.

Le polynôme $$G = F - \sum_j u_j\,X^{m-d}\,P_{d,j}$$ est dans $I$, et son coefficient d'indice $m$ est $c - \sum_j u_ja_{d,j} = 0$ : il est de degré strictement inférieur à $m$, donc dans $J$ par hypothèse de récurrence, et $F \in J$.

Le cas de $n$ indéterminées s'obtient par récurrence, puisque $A[X_1, \dots, X_n] = A[X_1, \dots, X_{n-1}][X_n]$ (Évaluation, (iii)), celui des quotients par Anneaux noethériens, (iii), et un corps est noethérien.