Lemme du pivot sur un anneau principal

Deux faits sur la comaximalité. Si $xA + hA = A$ et $xA + tA = A$, alors $xA + htA = A$ : en multipliant $1 = \lambda x + \mu h$ et $1 = \lambda' x + \mu' t$, on obtient $1 = x(\dots) + \mu\mu'\,ht$. Par récurrence, $xA + cA = A$ entraîne $xA + c^NA = A$ pour tout $N$. Enfin, si $t \mid c^N$, alors $c^NA \subset tA$, et $xA + c^NA = A$ entraîne $xA + tA = A$.

(i) Une suite canonique d'idéaux. Pour un idéal $I$, posons $\varphi(I) = \{x \in A : x(I + cA) \subset I\}$. C'est un idéal, puisque la condition $x(I + cA) \subset I$ est stable par somme et par multiplication par un élément de $A$ ; il contient $I$, puisque $I$ est un idéal. La suite $I_0 = gA$, $I_{i+1} = \varphi(I_i)$ est définie par récurrence sans aucun choix ; elle est croissante, donc stationnaire (Anneaux noethériens, (i) et (iii)) : $I_{N+1} = I_N$ pour un $N$.

Écrivons $I_N = hA$ ; on a $h \neq 0$, puisque $g \in I_N$. Soit $hA + cA = eA$ et $h = eh'$. Alors $h'(hA + cA) = h'eA = hA \subset hA$, donc $h' \in \varphi(hA) = hA$, et $h' = hy$. Il vient $h = ehy$, puis $ey = 1$ par intégrité : $hA + cA = A$.

Pour $x \in I_{i+1}$, on a $xc \in I_i$ par définition de $\varphi$. Comme $h \in I_N$, une récurrence sur $j$ donne $c^jh \in I_{N-j}$ pour $0 \leqslant j \leqslant N$, et en particulier $c^Nh \in I_0 = gA$. Comme $gA \subset hA$, écrivons $g = h\ell$ ; alors $c^Nh = gw = h\ell w$, et $c^N = \ell w$ par intégrité : $\ell \mid c^N$.

Écrivons $1 = \alpha c + \beta h$, et posons $k = \alpha(1 - s)$. Alors $$\begin{aligned} s + ck &= s + (1 - \beta h)(1 - s) \\ &= 1 - \beta h(1 - s), \end{aligned}$$ de sorte que $(s + ck)A + hA = A$.

D'autre part, $(s + ck)A + cA = sA + cA = A$ ; par les faits ci-dessus, appliqués à $t = \ell$, $(s + ck)A + \ell A = A$, puis $(s + ck)A + h\ell A = A$, c'est-à-dire $(s + ck)A + gA = A$.

(ii) Si $a = b = 0$, alors $cA = A$, et $p = 0$, $q = 1$ conviennent. Sinon, soit $gA = aA + bA$, avec $g \neq 0$, et $a = ga'$, $b = gb'$ ; comme au nœud Opérations élémentaires, (iii), il existe $s, t$ tels que $sa' + tb' = 1$.

Pour tout $k$, les éléments $p = s + b'k$ et $q = t - a'k$ vérifient $pa' + qb' = 1$, donc $pA + qA = A$ et $pa + qb = g$. Cette première condition est d'ailleurs redondante : un diviseur commun de $p$ et $q$ diviserait $pa + qb$ et $qc$. Comme $tA + a'A = A$, le point (i), appliqué à $t$, $-a'$ et $g$, fournit $k$ tel que $qA + gA = A$.

Par ailleurs $gA + cA = aA + bA + cA = A$. Par le premier des faits ci-dessus, $gA + qcA = A$, c'est-à-dire $(pa + qb)A + qcA = A$.

(iii) Par récurrence sur $n$. Si $n = 1$, $M$ est une colonne et $y = (1)$ convient.

Le cas de deux colonnes $u$ et $w$. Les matrices de Bézout de Opérations élémentaires, (iii), appliquées aux lignes $1$ et $i$ pour $i = 2, \dots, m$, donnent $P \in GL_m(A)$ telle que $Pu = (a, 0, \dots, 0)$ ; on saute les $i$ pour lesquels les deux coefficients sont nuls. On traite de même les lignes $2$ à $m$ de $Pw$, sans toucher à $Pu$, dont ces coordonnées sont nulles. On obtient $P' \in GL_m(A)$ telle que $P'u = (a, 0, \dots, 0)$ et $P'w = (b, c, 0, \dots, 0)$, avec $c = 0$ si $m = 1$.

Comme $I(P'M) = I(M) = A$, on a $aA + bA + cA = A$. Le point (ii) donne $p$, $q$, avec $pA + qA = A$, tels que $P'(pu + qw) = (pa + qb, qc, 0, \dots, 0)$ soit unimodulaire. Alors $pu + qw$ l'est aussi, puisque $P'$ est inversible, et $y = (p, q)$ convient.

Le cas général, $n \geqslant 2$. Soit $N$ la matrice des $n - 1$ premières colonnes, $w$ la dernière, et $eA = I(N)$. Si $e = 0$, alors $I(w) = A$ et $y = e_n$ convient. Sinon, $N = eN'$ avec $I(N') = A$, et l'hypothèse de récurrence fournit $z \in A^{n-1}$ unimodulaire tel que $v = N'z$ soit unimodulaire.

La matrice à deux colonnes $ev$ et $w$ vérifie $I = eA + I(w) = I(N) + I(w) = A$. Par le cas de deux colonnes, il existe $p$, $q$, avec $pA + qA = A$, tels que $pev + qw$ soit unimodulaire.

Posons $y = (pz_1, \dots, pz_{n-1}, q)$. Alors $My = pNz + qw = pev + qw$ est unimodulaire, et $y$ l'est aussi : l'idéal de ses coordonnées contient $p \sum_i \lambda_iz_i = p$, si $\sum_i \lambda_iz_i = 1$, et $q$.

(iv) Comme dans le cas de deux colonnes, des matrices de Bézout donnent $P \in GL_n(A)$ telle que $Py = (d, 0, \dots, 0)$, avec $dA = I(y) = A$ ; $d$ est inversible, et une dilatation le remplace par $1$. Si $P'y = e_1$ avec $P'$ inversible, $y = P'^{-1}e_1$ est la première colonne de $P'^{-1}$.

(v) Comme $\delta \neq 0$, chaque coefficient s'écrit de façon unique $m_{ij} = \delta m'_{ij}$, et $I(M) = \delta I(M')$ donne $I(M') = A$ après simplification par $\delta$. Soit $y$ comme en (iii) pour $M'$, et $Q \in GL_n(A)$ de première colonne $y$, par (iv). La première colonne de $M'Q$ est $M'y$, unimodulaire, et (iv) donne $P \in GL_m(A)$ telle que $PM'y = e_1$. Le coefficient $(1, 1)$ de $PM'Q$ vaut $1$, et celui de $PMQ = \delta\,PM'Q$ vaut $\delta$.