Proposition 6Représentations des groupes finis

Le groupe diédral 𝒟₄ et le groupe des quaternions ont la même table

On reprend le groupe diédral $\mathcal D_4$ , d'éléments $r^m$ et $r^ms$ , et le groupe $\mathcal Q_8 = \{\pm I, \pm i, \pm j, \pm k\}$ du nœud Diédraux, quaternions. Dans $\mathcal D_4$ , $sr^m = r^{-m}s$ et $s^2 = e$ ; dans $\mathcal Q_8$ , $i^2 = j^2 = k^2 = -I$ , $ji = -ij$ , et $-I$ commute à tout élément.

Énoncé

(i) Les classes de conjugaison de $\mathcal D_4$ sont $\{e\}$ , $\{r^2\}$ , $\{r, r^3\}$ , $\{s, r^2s\}$ et $\{rs, r^3s\}$ ; celles de $\mathcal Q_8$ sont $\{I\}$ , $\{-I\}$ , $\{\pm i\}$ , $\{\pm j\}$ et $\{\pm k\}$ .

(ii) $D(\mathcal D_4) = \{e, r^2\}$ et $D(\mathcal Q_8) = \{\pm I\}$ . Chacun des deux groupes a quatre caractères linéaires : ceux de $\mathcal D_4$ sont déterminés par $\lambda(r), \lambda(s) \in \{1, -1\}$ , ceux de $\mathcal Q_8$ par $\lambda(i), \lambda(j) \in \{1, -1\}$ , les quatre couples de signes étant atteints.

(iii) En faisant correspondre les classes dans l'ordre de (i), les deux groupes ont la même table des caractères :

Caractère	$e$ ; $I$ (1)	$r^2$ ; $-I$ (1)	$r$ ; $\pm i$ (2)	$s$ ; $\pm j$ (2)	$rs$ ; $\pm k$ (2)
$\lambda_{++}$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\lambda_{+-}$	$1$	$1$	$1$	$-1$	$-1$
$\lambda_{-+}$	$1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$
$\lambda_{--}$	$1$	$1$	$-1$	$-1$	$1$
$\chi$	$2$	$-2$	$0$	$0$	$0$

L'indice de $\lambda$ donne les signes de ses valeurs en $r$ et $s$ , ou en $i$ et $j$ . Pourtant $\mathcal D_4$ et $\mathcal Q_8$ ne sont pas isomorphes (Groupes d'ordre 8).

Démonstration

(i) Dans $\mathcal D_4$ . Le conjugué de $x$ par $r^m$ est $r^mxr^{-m}$ , et par $r^ms$ c'est $r^m(sxs^{-1})r^{-m}$ . Avec la règle $sr^m = r^{-m}s$ , on trouve $sr^ks^{-1} = r^{-k}$ et $\begin{aligned} r^m(r^ks)r^{-m} &= r^{k + 2m}s, \\ s(r^ks)s^{-1} &= r^{-k}s. \end{aligned}$

La classe de $r^k$ est donc $\{r^k, r^{-k}\}$ , ce qui donne $\{e\}$ , $\{r^2\}$ et $\{r, r^3\}$ . Celle de $r^ks$ est formée des $r^{k'}s$ avec $k' \equiv \pm k + 2m \pmod 4$ , c'est-à-dire de même parité que $k$ : $\{s, r^2s\}$ et $\{rs, r^3s\}$ .

Dans $\mathcal Q_8$ . L'élément $-I$ commute à tout élément, et forme avec $I$ deux classes à un élément. On a $jij^{-1} = i^{-1} = -i$ (Diédraux, quaternions, (iii)), et de même $iji^{-1} = -j$ et $iki^{-1} = -k$ , par $ji = -ij$ ; la classe de $u \in \{i, j, k\}$ contient donc $\pm u$ .

Le centralisateur de $u$ contient $\langle u \rangle = \{\pm I, \pm u\}$ , d'ordre $4$ , et n'est pas $\mathcal Q_8$ ; il est donc d'ordre $4$ par le théorème de Lagrange, et la classe de $u$ a $\frac{8}{4} = 2$ éléments (Actions de groupe, (i)) : c'est $\{\pm u\}$ .

(ii) On a $[r, s] = rsr^{-1}s^{-1} = r \cdot r = r^2$ et $[i, j] = ij(-i)(-j) = (ij)^2 = k^2 = -I.$ Le quotient par $\{e, r^2\}$ , resp. $\{\pm I\}$ , est d'ordre $4$ , donc abélien (Ordres p, p², 2p, pq, (ii)) ; par Caractères linéaires, (i), le groupe dérivé est contenu dans ce sous-groupe d'ordre $2$ , et le contient : il lui est égal. Il y a donc quatre caractères linéaires (Caractères linéaires, (iii), qui repose sur le lemme de Schur, où le théorème de d'Alembert-Gauss est admis).

Un caractère linéaire $\lambda$ de $\mathcal D_4$ vaut $1$ sur $D(\mathcal D_4)$ , d'où $\lambda(r)^2 = \lambda(r^2) = 1$ et $\lambda(s)^2 = \lambda(s^2) = 1$ : $\lambda(r), \lambda(s) \in \{1, -1\}$ , et $\lambda(r^ms^b) = \lambda(r)^m\lambda(s)^b$ .

Le couple $(\lambda(r), \lambda(s))$ détermine $\lambda$ ; quatre caractères pour quatre couples, tous sont atteints. Le même raisonnement vaut pour $\mathcal Q_8$ , avec $\lambda(k) = \lambda(i)\lambda(j)$ et $\lambda(-I) = \lambda(i)^2 = 1$ .

(iii) Les lignes des caractères linéaires se lisent sur (ii). Il y a cinq caractères irréductibles (Fonctions centrales, (i), qui repose aussi sur le lemme de Schur), et le cinquième est de degré $d$ avec $4 + d^2 = 8$ (Représentation régulière, (ii)), soit $d = 2$ . Pour $g \neq e$ , la même relation donne $2\chi(g) = -\sum_\lambda \lambda(g)$ .

En $r^2$ , ou en $-I$ , les quatre caractères linéaires valent $1$ , et $\chi = -2$ . Sur chacune des trois autres classes, les valeurs des quatre caractères linéaires sont deux fois $1$ et deux fois $-1$ , comme on le lit sur les lignes ; leur somme est nulle, et $\chi = 0$ . Le calcul est le même pour les deux groupes.

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que la table des caractères détermine le groupe. Elle donne le nombre de classes, leurs cardinaux, les degrés, l'abélianisé, mais pas la loi de groupe : $\mathcal D_4$ a cinq éléments d'ordre $2$ et $\mathcal Q_8$ un seul.

Ce qui les sépare est le comportement de $g \mapsto g^2$ , absent de la table. La moyenne $\frac{1}{8}\sum_g \chi(g^2)$ vaut $1$ pour $\mathcal D_4$ et $-1$ pour $\mathcal Q_8$ .

Dans $\mathcal D_4$ , $g^2$ vaut $e$ pour six éléments et $r^2$ pour $r$ et $r^3$ , d'où $\frac{6 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{8} = 1$ . Dans $\mathcal Q_8$ , il vaut $I$ pour $\pm I$ et $-I$ pour les six autres, d'où $\frac{2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{8} = -1$ .

C'est l'indicateur de Frobenius-Schur d'un caractère irréductible $\chi$ . Il vaut $1$ si la représentation est réalisable par des matrices réelles, $-1$ si $\chi$ est réel sans que la représentation le soit, et $0$ si $\chi$ n'est pas à valeurs réelles ; ces trois cas sont admis ici.

Remarque

Les deux représentations de degré $2$ se réalisent par des matrices complexes. Pour $\mathcal D_4$ , les matrices $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ vérifient $R^4 = S^2 = I$ et $SRS^{-1} = R^{-1}$ , et engendrent un groupe d'ordre $8$ isomorphe à $\mathcal D_4$ (Diédraux, quaternions, (ii)).

Pour $\mathcal Q_8$ , on prend, le $i$ des coefficients étant le nombre complexe, $\rho(i) = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \quad \rho(j) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Ces deux matrices vérifient les relations de (iv) du même nœud et engendrent un groupe d'ordre $8$ , formé de $\pm I$ , $\pm\rho(i)$ , $\pm\rho(j)$ et $\pm\rho(i)\rho(j)$ , isomorphe à $\mathcal Q_8$ ; d'où la représentation $\rho$ .

Les traces, $2$ , $-2$ et $0$ , redonnent la dernière ligne de la table, ce qu'un calcul exact confirme.

Repose sur

Caractères linéaires et abélianisé

Sert à

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