Théorème 2Suites de composition et théorème de Jordan-Hölder

Théorème de raffinement de Schreier

Une suite normale de longueur $r \in {\mathbb N}$ d'un groupe $G$ est une suite finie de sous-groupes $G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_r = \{e\},$ chacun distingué dans le précédent ; ses facteurs sont les $r$ groupes quotients $G_{i-1}/G_i$ , pour $1 \leqslant i \leqslant r$ . Les inclusions ne sont pas supposées strictes : un facteur peut être trivial.

Une suite normale $(K_k)_{0 \leqslant k \leqslant N}$ est un raffinement de $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant r}$ s'il existe des indices $0 = k_0 \leqslant k_1 \leqslant \cdots \leqslant k_r = N$ tels que $K_{k_i} = G_i$ pour tout $i$ : on obtient le raffinement en insérant des termes.

Deux suites normales $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant r}$ et $(H_j)_{0 \leqslant j \leqslant s}$ , éventuellement de deux groupes différents, sont équivalentes si $r = s$ et s'il existe une bijection $\sigma$ de $\{1, \dots, r\}$ sur lui-même telle que $G_{i-1}/G_i$ soit isomorphe à $H_{\sigma(i)-1}/H_{\sigma(i)}$ pour tout $i$ : elles ont les mêmes facteurs, à l'ordre et à isomorphisme près.

Énoncé

(i) L'équivalence des suites normales est réflexive, symétrique et transitive.

(ii) Schreier. Deux suites normales d'un même groupe, de longueurs $r \geqslant 1$ et $s \geqslant 1$ , ont des raffinements équivalents, de longueur $rs$ .

Démonstration

(i) L'identité convient pour la réflexivité ; la bijection réciproque et les isomorphismes réciproques (Morphisme, (ii)) pour la symétrie ; la composée des bijections et des isomorphismes pour la transitivité.

(ii) Soient $G = G_0 \supset \cdots \supset G_r = \{e\}$ et $G = H_0 \supset \cdots \supset H_s = \{e\}$ deux suites normales, avec $r, s \geqslant 1$ .

Pour $0 \leqslant i < r$ et $0 \leqslant j \leqslant s$ , posons $\begin{aligned} G_{i,j} &= G_{i+1}(G_i \cap H_j), \\ H_{j,i} &= H_{j+1}(H_j \cap G_i), \end{aligned}$ ce second sous-groupe étant défini pour $0 \leqslant j < s$ et $0 \leqslant i \leqslant r$ .

Ce sont des raffinements. Comme $G_{i+1}$ est distingué dans $G_i$ et que $G_i \cap H_j \subset G_i$ , $G_{i,j}$ est un sous-groupe (Isomorphismes, correspondance, (i)). La suite $j \mapsto G_{i,j}$ décroît, de $G_{i,0} = G_{i+1}G_i = G_i$ à $G_{i,s} = G_{i+1}\{e\} = G_{i+1}$ .

Le lemme du papillon (Lemme de Zassenhaus), appliqué à $A = G_i$ , $A' = G_{i+1}$ , $B = H_j$ et $B' = H_{j+1}$ , pour $0 \leqslant j < s$ , montre que $G_{i,j+1}$ est distingué dans $G_{i,j}$ , que $H_{j,i+1}$ est distingué dans $H_{j,i}$ , et que $G_{i,j}/G_{i,j+1} \;\cong\; H_{j,i}/H_{j,i+1}.$

Rangeons les $G_{i,j}$ dans l'ordre lexicographique : pour $0 \leqslant i < r$ et $0 \leqslant j < s$ , posons $K_{is+j} = G_{i,j}$ , et $K_{rs} = \{e\}$ . Le terme qui suit $K_{is+j}$ est $G_{i,j+1}$ : c'est clair si $j + 1 < s$ , et si $j + 1 = s$ , c'est $K_{(i+1)s}$ , qui vaut $G_{i+1,0} = G_{i+1} = G_{i,s}$ si $i + 1 < r$ , et $\{e\} = G_r = G_{i,s}$ si $i + 1 = r$ .

Ainsi $(K_k)_{0 \leqslant k \leqslant rs}$ est une suite normale de $G$ , de facteurs les $G_{i,j}/G_{i,j+1}$ , et elle raffine $(G_i)$ , puisque $K_{is} = G_i$ . De même, $L_{jr+i} = H_{j,i}$ et $L_{rs} = \{e\}$ définissent un raffinement de $(H_j)$ , de longueur $rs$ , de facteurs les $H_{j,i}/H_{j,i+1}$ .

Ils sont équivalents. Le facteur d'indice $is + j + 1$ de $(K_k)$ est $G_{i,j}/G_{i,j+1}$ , et celui d'indice $jr + i + 1$ de $(L_k)$ est $H_{j,i}/H_{j,i+1}$ , qui lui est isomorphe. L'application $is + j + 1 \mapsto jr + i + 1$ , pour $0 \leqslant i < r$ et $0 \leqslant j < s$ , est une bijection de $\{1, \dots, rs\}$ sur lui-même, par unicité de la division euclidienne par $s$ et par $r$ (Division euclidienne).

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Remarque

Dans $\mathbb Z/12\mathbb Z$ , avec les notations du nœud Isomorphismes, correspondance, prenons les suites $\mathbb Z/12\mathbb Z \supset \langle \bar 2 \rangle \supset \{\bar 0\}$ , de facteurs d'ordres $2$ et $6$ , et $\mathbb Z/12\mathbb Z \supset \langle \bar 3 \rangle \supset \{\bar 0\}$ , de facteurs d'ordres $3$ et $4$ . Elles ne sont pas équivalentes, et la construction de la preuve les raffine en $\begin{aligned} &\mathbb Z/12\mathbb Z = \mathbb Z/12\mathbb Z \supset \langle \bar 2 \rangle \supset \langle \bar 6 \rangle \supset \{\bar 0\}, \\ &\mathbb Z/12\mathbb Z = \mathbb Z/12\mathbb Z \supset \langle \bar 3 \rangle \supset \langle \bar 6 \rangle \supset \{\bar 0\}. \end{aligned}$

Les facteurs sont d'ordres $1, 2, 3, 2$ pour la première, et $1, 3, 2, 2$ pour la seconde ; la bijection de la preuve échange les deuxième et troisième facteurs, et fixe les deux autres. Le calcul des douze sous-groupes $G_{i,j}$ et $H_{j,i}$ a été vérifié par une énumération.

Remarque

L'hypothèse $r, s \geqslant 1$ n'écarte que le groupe trivial, dont la suite $\{e\}$ , de longueur $0$ , n'a pas d'autre raffinement qu'elle-même. Pour un groupe non trivial, toute suite normale a une longueur au moins égale à $1$ .

Les termes répétés, comme $\mathbb Z/12\mathbb Z = \mathbb Z/12\mathbb Z$ ci-dessus, ne gênent pas. Un isomorphisme envoie un groupe trivial sur un groupe trivial ; la bijection de l'équivalence envoie donc les facteurs triviaux d'un raffinement sur ceux de l'autre, et l'on peut retirer des deux côtés les termes répétés sans détruire l'équivalence.

Remarque

Le théorème a été publié par O. Schreier en 1928 (« Über den Jordan-Hölderschen Satz », Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 6, p. 300-302). La démonstration par le lemme du papillon, donnée ici, est celle de Zassenhaus (1934). Le nœud suivant en tire le théorème de Jordan-Hölder.

Repose sur

Lemme du papillon de Zassenhaus

Sert à

Suites de composition, existence pour un groupe fini