Lemme du papillon de Zassenhaus

Le sous-groupe central. Les sous-groupes $A' \cap B$ et $A \cap B'$ sont distingués dans $A \cap B$. En effet, pour $g \in A \cap B$ et $x \in A' \cap B$, on a $gxg^{-1} \in A'$, puisque $g \in A$ et que $A'$ est distingué dans $A$, et $gxg^{-1} \in B$ ; de même pour $A \cap B'$.

Par Isomorphismes, correspondance, (i), appliqué dans le groupe $A \cap B$, $$D = (A' \cap B)(A \cap B')$$ est un sous-groupe distingué de $A \cap B$, et $D = (A \cap B')(A' \cap B)$.

Les ailes. Le sous-groupe $A \cap B$ est contenu dans $A$, où $A'$ est distingué : par le même point (i), appliqué dans $A$, $A'(A \cap B)$ est un sous-groupe, et ses éléments s'écrivent $a'x$ avec $a' \in A'$ et $x \in A \cap B$.

Posons $f(a'x) = xD \in (A \cap B)/D$. Cette valeur ne dépend pas de l'écriture : si $a'x = a''y$, alors $yx^{-1} = a''^{-1}a'$ appartient à $A'$ et à $A \cap B$, donc à $A' \cap B \subset D$, et $x^{-1}y = x^{-1}(yx^{-1})x \in D$, puisque $D$ est distingué dans $A \cap B$ : $xD = yD$.

C'est un morphisme. Pour $a', b' \in A'$ et $x, y \in A \cap B$, $$(a'x)(b'y) = a'(xb'x^{-1})\,xy,$$ avec $xb'x^{-1} \in A'$ puisque $x \in A$, d'où $f\big((a'x)(b'y)\big) = xyD = f(a'x)f(b'y)$. Il est surjectif, puisque $f(ex) = xD$.

Son noyau est formé des $a'x$ avec $x \in D$, c'est-à-dire $$\begin{aligned} \operatorname{Ker} f = A'D &= A'(A' \cap B)(A \cap B') \\ &= A'(A \cap B'), \end{aligned}$$ puisque $A'(A' \cap B) = A'$. Ce noyau est distingué dans $A'(A \cap B)$ (Sous-groupe distingué, (iii)), et le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) donne le premier isomorphisme.

Symétrie. Échangeons les rôles de $A$ et $B$, et de $A'$ et $B'$. Le sous-groupe central devient $(B' \cap A)(B \cap A') = (A \cap B')(A' \cap B)$, qui est $D$, et le même raisonnement montre que $B'(A' \cap B)$ est distingué dans $B'(A \cap B)$, de quotient isomorphe à $(A \cap B)/D$.