Théorème de Jordan-Hölder

(i) Soient $0 = k_0 \leqslant \cdots \leqslant k_r = N$ des indices tels que $K_{k_i} = G_i$ ; comme $G_{i-1} \neq G_i$, ils sont strictement croissants. Fixons $i$ entre $1$ et $r$ : pour $k_{i-1} \leqslant k \leqslant k_i$, on a $G_i \subset K_k \subset G_{i-1}$.

Soit $k'$ le plus petit indice $k$ de $\{k_{i-1} + 1, \dots, k_i\}$ tel que $K_k \neq G_{i-1}$ ; il existe, puisque $K_{k_i} = G_i \neq G_{i-1}$. Par minimalité, $K_{k'-1} = G_{i-1}$, de sorte que $K_{k'}$ est distingué dans $G_{i-1}$, avec $G_i \subset K_{k'} \subsetneq G_{i-1}$.

Comme $G_{i-1}/G_i$ est simple, aucun sous-groupe distingué de $G_{i-1}$ n'est strictement compris entre $G_i$ et $G_{i-1}$ (Suites de composition, (ii)) : $K_{k'} = G_i$, puis $K_k = G_i$ pour $k' \leqslant k \leqslant k_i$.

Parmi les facteurs d'indices $k_{i-1} < k \leqslant k_i$, seul celui d'indice $k'$ est non trivial, et il vaut $K_{k'-1}/K_{k'} = G_{i-1}/G_i$. Les intervalles $\{k_{i-1} + 1, \dots, k_i\}$, pour $1 \leqslant i \leqslant r$, partagent $\{1, \dots, N\}$, d'où (i).

(ii) Soient $(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant r}$ et $(H_j)_{0 \leqslant j \leqslant s}$ deux suites de composition de $G$. Si $G$ est trivial, tous les termes valent $\{e\}$, et un facteur éventuel serait trivial, donc pas simple : $r = s = 0$. Sinon, $r$ et $s$ sont au moins égaux à $1$, et, par le théorème de Schreier (Raffinement de Schreier, (ii)), elles ont des raffinements $(K_k)$ et $(L_k)$ de même longueur $N$, et une bijection $\tau$ de $\{1, \dots, N\}$ sur lui-même qui envoie l'indice de chaque facteur de $(K_k)$ sur celui d'un facteur isomorphe de $(L_k)$.

Soient $I$ et $J$ les ensembles d'indices des facteurs non triviaux de $(K_k)$ et de $(L_k)$. Un groupe isomorphe à un groupe trivial est trivial, donc $\tau(I) = J$. Par (i), $I$ a $r$ éléments et $J$ en a $s$ : $r = s$.

Soient $\alpha : \{1, \dots, r\} \to I$ et $\beta : \{1, \dots, r\} \to J$ les bijections croissantes. Par (i), le facteur d'indice $\alpha(i)$ de $(K_k)$ est $G_{i-1}/G_i$, et celui d'indice $\beta(j)$ de $(L_k)$ est $H_{j-1}/H_j$. La bijection $\sigma = \beta^{-1} \circ \tau \circ \alpha$ vérifie donc $$G_{i-1}/G_i \;\cong\; H_{\sigma(i)-1}/H_{\sigma(i)}$$ pour tout $i$.

(iii) C'est une reformulation de (ii).