Le groupe alterné 𝔄₅ est simple

(i) Un $3$-cycle $(a\ b\ c)$ est déterminé par l'ensemble $\{a, b, c\}$ des points qu'il déplace et par l'image de $a$, à choisir entre les deux autres : il y en a $10 \times 2 = 20$, l'ensemble $\{1, \dots, 5\}$ ayant dix parties à trois éléments.

Il s'écrit $(a\ c)(a\ b)$, en suivant les images, donc il est pair (Permutations, signature) ; son carré envoie $a$ sur $c$, et son cube est l'identité : il est d'ordre $3$ (Groupes cycliques, (i)).

Un $5$-cycle s'écrit d'une seule façon sous la forme $(1\ b\ c\ d\ f)$, puisque $b, c, d, f$ sont les images successives de $1$ ; il y a autant de $5$-cycles que d'arrangements $(b, c, d, f)$ des éléments de $\{2, 3, 4, 5\}$, soit $4! = 24$ (Non-simplicité, (iii)).

En suivant les images, on vérifie que $$(a\ b\ c\ d\ f) = (a\ f)(a\ d)(a\ c)(a\ b),$$ produit de quatre transpositions, donc pair. Les puissances $\sigma^k$, $1 \leqslant k \leqslant 4$, d'un $5$-cycle $\sigma$ envoient $a$ sur $b, c, d, f$, et ne sont pas l'identité, tandis que $\sigma^5$ ramène chaque point à lui-même : $\sigma$ est d'ordre $5$.

(ii) L'ensemble $Q_5$ est le sous-groupe formé de l'identité et des trois doubles transpositions de $\{1, 2, 3, 4\}$ (𝔖ₙ non résoluble, remarque), vu dans $\mathfrak S_5$ ; ses éléments sont pairs. Il a $4$ éléments, et $60 = 4 \times 15$ avec $15$ impair : c'est un $2$-Sylow de $\mathfrak A_5$.

Soit $\tau = (4\ 5)$. Pour toute transposition $(a\ b)$ de $\mathfrak S_5$, on a $\tau(a\ b)\tau^{-1} = (\tau(a)\ \tau(b))$, comme on le voit en suivant les images : le conjugué envoie $\tau(a)$ sur $\tau(b)$, $\tau(b)$ sur $\tau(a)$, et fixe les autres points. Le conjugué d'un produit étant le produit des conjugués, $\tau Q_5\tau^{-1} = Q_4$. Comme $x \mapsto \tau x\tau^{-1}$ est un automorphisme de $\mathfrak S_5$ qui conserve la signature, $Q_4$ est un sous-groupe de $\mathfrak A_5$ à quatre éléments, donc un $2$-Sylow.

Les éléments de $Q_5$ autres que $e$ fixent $5$, et ceux de $Q_4$ déplacent $5$ : $Q_5 \cap Q_4 = \{e\}$.

(iii) Le groupe $\mathfrak A_5$ n'est pas réduit au neutre. Soit $N$ un sous-groupe distingué de $\mathfrak A_5$ distinct de $\{e\}$ ; son ordre divise $60$ (Lagrange), et les diviseurs de $60$ sont $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$.

Si $3$ divise $|N|$. Le théorème de Cauchy (Cauchy) fournit $x \in N$ d'ordre $3$ ; comme $60 = 3 \times 20$ et que $3 \nmid 20$, $P = \langle x \rangle$ est un $3$-Sylow de $\mathfrak A_5$, contenu dans $N$.

Tout $3$-Sylow de $\mathfrak A_5$ s'écrit $gPg^{-1}$ (Sylow, (ii)), et il est contenu dans $gNg^{-1} = N$. Chaque $3$-cycle engendre un sous-groupe d'ordre $3$, qui est un $3$-Sylow : $N$ contient les vingt $3$-cycles, et $|N| \geqslant 21$.

Si $5$ divise $|N|$. Le même raisonnement, avec $60 = 5 \times 12$, montre que $N$ contient les vingt-quatre $5$-cycles, et $|N| \geqslant 25$.

Si ni $3$ ni $5$ ne divise $|N|$. La liste des diviseurs donne $|N| \in \{2, 4\}$ : $N$ est un sous-groupe dont l'ordre est une puissance de $2$, contenu dans un $2$-Sylow $R$ (Sylow, (ii)).

Pour tout $g$, on a alors $N = gNg^{-1} \subset gRg^{-1}$ ; comme tout $2$-Sylow est de la forme $gRg^{-1}$ (même point), $N$ est contenu dans tous, en particulier dans $Q_5 \cap Q_4 = \{e\}$ par (ii) : c'est exclu.

Conclusion. L'un des deux premiers cas a lieu, et $|N| \geqslant 21$ : $|N| \in \{30, 60\}$. Si $|N| = 30$, divisible par $3$ et par $5$, $N$ contiendrait l'identité, les vingt $3$-cycles et les vingt-quatre $5$-cycles, éléments distincts puisque d'ordres différents, soit $45 > 30$ éléments. Donc $N = \mathfrak A_5$.