Critères de non-simplicité

(i) Le centre contient $e$. Soient $x, y \in Z(G)$ et $g \in G$ ; en multipliant l'égalité $yg = gy$ à gauche et à droite par $y^{-1}$, on obtient $gy^{-1} = y^{-1}g$, d'où $$xy^{-1}g = xgy^{-1} = gxy^{-1}.$$ Donc $xy^{-1} \in Z(G)$, qui est un sous-groupe (Sous-groupe, (i)). Pour $z \in Z(G)$, $gzg^{-1} = zgg^{-1} = z$ : il est distingué.

Si $G$ est un $p$-groupe fini, $Z(G) \neq \{e\}$ (Actions de groupe, (iv)). Ou bien $Z(G) = G$, et $G$ est abélien ; ou bien $Z(G)$ est un sous-groupe distingué distinct de $\{e\}$ et de $G$, et $G$ n'est pas simple.

(ii) C'est, rendu général, l'argument des points (iii) et (iv) du nœud Ordres p, p², 2p, pq. Par Sylow, (i) et (iii), il existe des $p$-Sylow, et $n_p$ est un diviseur de $m$ congru à $1$ modulo $p$ : $n_p = 1$, et l'unique $p$-Sylow $P$ est distingué (même nœud, (iii)).

On a $|P| = p^a > 1$, et $|P| < p^am = |G|$ puisque $m > 1$ : $P$ est distinct de $\{e\}$ et de $G$.

Lorsque $m < p$, un diviseur $d$ de $m$ congru à $1$ modulo $p$ vérifie $0 \leqslant d - 1 < m \leqslant p - 1$ ; l'entier $d - 1$, multiple de $p$ compris entre $0$ et $p - 1$, est nul, et $d = 1$.

(iii) Dénombrement. Montrons, par récurrence sur $k$, que si $X$ et $Y$ ont $k$ éléments, il y a $k!$ bijections de $X$ sur $Y$. Pour $k = 0$, la seule est l'application vide, et $0! = 1$.

Supposons-le pour $k$, et soient $X$ et $Y$ à $k + 1$ éléments, et $x_0 \in X$. Une bijection $f$ de $X$ sur $Y$ est déterminée par $y = f(x_0)$ et par sa restriction, qui est une bijection de $X \setminus \{x_0\}$ sur $Y \setminus \{y\}$, ensembles à $k$ éléments ; réciproquement, tout tel couple définit une bijection.

Il y a $k + 1$ choix de $y$ et, pour chacun, $k!$ bijections, soit $(k + 1) \cdot k! = (k + 1)!$ en tout. Avec $Y = X$, $\mathfrak S(X)$ a $k!$ éléments.

Action. Pour $g \in G$, l'application $\rho(g) : xH \mapsto gxH$ est bien définie : si $xH = yH$, alors $x^{-1}y \in H$, donc $(gx)^{-1}(gy) = x^{-1}y \in H$, et $gxH = gyH$ (Sous-groupe distingué, (i)).

On a $\rho(gg') = \rho(g) \circ \rho(g')$ et $\rho(e) = \mathrm{id}$ ; chaque $\rho(g)$ est donc une bijection, de réciproque $\rho(g^{-1})$, et $\rho$ est un morphisme de $G$ dans $\mathfrak S(G/H)$. Son noyau $N$ est distingué (même nœud, (iii)).

Si $g \in N$, alors $gH = \rho(g)(eH) = H$, donc $g \in H$ : $N \subset H$.

Le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) identifie $G/N$ à l'image de $\rho$, sous-groupe de $\mathfrak S(G/H)$ dont l'ordre divise $k!$ par le théorème de Lagrange (Lagrange) ; le même théorème donne $|G| = |N| \cdot |G/N|$.

Si $N$ était réduit à $\{e\}$, $|G|$ serait l'ordre de l'image de $\rho$, et diviserait $k!$ : c'est exclu. Donc $N \neq \{e\}$, et si $H \neq G$, le sous-groupe distingué $N \subset H$ est distinct de $G$.

(iv) Un $p$-Sylow $P$ est d'ordre $p$ ; il est cyclique (Ordres p, p², 2p, pq, (i)), engendré par chacun de ses éléments autres que $e$ (Groupes cycliques, (ii)), qui sont donc ses $p - 1$ éléments d'ordre $p$.

Si $Q$ est un autre $p$-Sylow, $P \cap Q$ est un sous-groupe de $P$, dont l'ordre divise $p$. Il ne vaut pas $p$, sans quoi $P \cap Q = P$ et $P = Q$, ces deux groupes ayant $p$ éléments ; donc $P \cap Q = \{e\}$.

Réciproquement, un élément $x$ d'ordre $p$ engendre un sous-groupe $\langle x \rangle$ d'ordre $p = p^a$, qui est un $p$-Sylow, et c'est le seul $p$-Sylow qui contienne $x$, puisque deux d'entre eux ne partagent que $e$.

Les éléments d'ordre $p$ se répartissent donc en $n_p$ paquets disjoints de $p - 1$ éléments, un par $p$-Sylow, et ils sont au nombre de $n_p(p - 1)$.