Théorème 2Théorème 90 de Hilbert et théorie de Kummer

Forme additive du théorème 90

Énoncé

Soit $L/K$ une extension galoisienne de groupe $G$ . Alors ${H^1}(G, L) = 0$ . Autrement dit, si une application $f : G \to L$ vérifie $f(\sigma\tau) = f(\sigma) + \sigma\big(f(\tau)\big)$ pour tous $\sigma, \tau$ , il existe $a \in L$ tel que $f(\sigma) = \sigma(a) - a$ pour tout $\sigma \in G$ .

Démonstration

Par le point (iii) du nœud Norme et trace, il existe $c \in L$ tel que $t = \operatorname{Tr}_{L/K}(c) \neq 0$ ; et $t \in K$ . Posons $b = \sum_{\tau \in G} f(\tau)\,\tau(c).$ Pour $\sigma \in G$ , la relation de cocycle donne $\sigma(f(\tau)) = f(\sigma\tau) - f(\sigma)$ , d'où $\begin{aligned} \sigma(b) &= \sum_{\tau \in G} f(\sigma\tau)\,\sigma\tau(c) - f(\sigma)\sum_{\tau \in G}\sigma\tau(c) \\ &= b - f(\sigma)\,t. \end{aligned}$ Comme $\sigma(t) = t$ , l'élément $a = -b/t$ vérifie $\sigma(a) - a = (b - \sigma(b))/t = f(\sigma)$ .

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Remarque

Lorsque la caractéristique de $K$ ne divise pas $n$ , l'entier $n = |G|$ est inversible dans $L$ , la multiplication par $n$ est bijective sur $L$ , et l'annulation par l'ordre du groupe (Annulation par l'ordre, (ii)) donne directement $H^m(G, L) = 0$ pour tout $m \geqslant 1$ . La démonstration ci-dessus remplace la division par $n$ , impossible quand la caractéristique divise $n$ , par la division par la trace d'un élément bien choisi.

Remarque

L'annulation de $H^m(G, L)$ pour tout $m \geqslant 1$ est vraie aussi quand la caractéristique divise $n$ ; elle découle du théorème de la base normale, qui est admis ici.

Repose sur

Action du groupe de Galois sur L et sur son groupe multiplicatif

Sert à

Le théorème 90 pour une extension cyclique