Extensions cycliques de degré p en caractéristique p

(i) La trace de $1$ est $p \cdot 1 = 0$ (Norme et trace, (ii)). Par la forme additive cyclique du théorème 90 (Forme cyclique, (ii)), $1 = y - \sigma(y)$ pour un $y \in L$ ; alors $\alpha = -y$ vérifie $\sigma(\alpha) = -y + 1 = \alpha + 1$.

Pour un tel $\alpha$, $\sigma^k(\alpha) = \alpha + k \cdot 1$, et ces $p$ éléments, pour $0 \leqslant k < p$, sont distincts, puisque $k \cdot 1 \neq 0$ pour $0 < k < p$. Ce sont des racines du polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$, qui est donc de degré au moins $p$ (Racines, (iii)) : $[K(\alpha):K] \geqslant p = [L:K]$, et $K(\alpha) = L$ par multiplicativité des degrés (Extensions, degré).

Par le binôme en caractéristique $p$ (Binôme de Newton, (iv)), $$\begin{aligned} \sigma(\alpha^p - \alpha) &= (\alpha + 1)^p - (\alpha + 1) \\ &= \alpha^p - \alpha : \end{aligned}$$ l'élément $\alpha^p - \alpha$ est fixé par le groupe, et appartient à $K$.

(ii) Pour $k \in \mathbb Z/p\mathbb Z$, on a $(\alpha + k)^p - (\alpha + k) - a = \alpha^p + k^p - \alpha - k - a = 0$, puisque $k^p = k$. Les $p$ éléments $\alpha + k$ sont des racines distinctes du polynôme, qui est donc leur produit (Racines, (iii)) : il est séparable, scindé sur $K(\alpha)$, et $K(\alpha)/K$ est galoisienne (Extensions galoisiennes, (a)).

Pour $\tau$ dans son groupe $\Gamma$, $\tau(\alpha)$ est une racine, donc $\tau(\alpha) = \alpha + k_\tau$ avec un unique $k_\tau \in \mathbb Z/p\mathbb Z$. Comme $k_\tau \in K$ est fixé, $\tau'\tau(\alpha) = \alpha + k_\tau + k_{\tau'}$ : l'application $\tau \mapsto k_\tau$ est un morphisme de $\Gamma$ dans le groupe additif $\mathbb Z/p\mathbb Z$. Il est injectif, puisque $k_\tau = 0$ signifie que $\tau$ fixe $\alpha$, donc $K(\alpha)$. Son image est un sous-groupe d'un groupe d'ordre premier : ou bien elle est triviale, $\Gamma$ aussi, et $\alpha \in K$, avec toutes les racines $\alpha + k$ ; ou bien c'est $\mathbb Z/p\mathbb Z$ tout entier, et $\Gamma$ est cyclique d'ordre $p$.