Théorème 2Cyclotomie et constructions

Racines de l'unité et polynômes cyclotomiques

Soit $K$ un corps et $n \geqslant 1$ . Une racine $n$ -ième de l'unité dans $K$ est un $x \in K$ tel que $x^n = 1$ ; elles forment un sous-groupe $\mu_n(K)$ de $K^\times$ , qui a au plus $n$ éléments (Racines, (iii)). Une racine primitive $n$ -ième de l'unité est un élément d'ordre exactement $n$ du groupe $K^\times$ .

Les polynômes cyclotomiques $\Phi_n \in {\mathbb Z}[X]$ sont définis par récurrence forte. On pose $\Phi_1 = X - 1$ . Pour $n \geqslant 2$ , si les $\Phi_d$ , $d < n$ , sont définis, unitaires et de degrés $\deg\Phi_d = \varphi(d)$ , le produit $\Psi_n = \prod_{d \mid n,\ d < n} \Phi_d$ est unitaire, de degré $\sum_{d \mid n,\, d < n}\varphi(d) = n - \varphi(n) < n$ (Groupe multiplicatif, (i)). Alors $\Phi_n$ est le quotient de la division euclidienne de $X^n - 1$ par $\Psi_n$ dans $\mathbb Z[X]$ (Division des polynômes, (i)) ; il est unitaire de degré $n - \deg\Psi_n = \varphi(n)$ , ce qui propage l'hypothèse de récurrence.

Un élément de $\mathbb Z[X]$ a une image dans $K[X]$ , obtenue en remplaçant chaque coefficient $a$ par $a \cdot 1_K$ (Évaluation, (i)) ; on la note de la même façon.

Énoncé

(i) Si $K$ contient une racine primitive $n$ -ième de l'unité $\zeta$ , alors $\mu_n(K) = \{1, \zeta, \dots, \zeta^{n-1}\}$ a $n$ éléments, $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1}(X - \zeta^k)$ dans $K[X]$ , et les racines primitives $n$ -ièmes de l'unité de $K$ sont les $\zeta^k$ avec $k \wedge n = 1$ , au nombre de $\varphi(n)$ .

(ii) Dans ce cas, l'image de $\Phi_n$ dans $K[X]$ est $\prod (X - \xi)$ , produit étendu aux racines primitives $n$ -ièmes de l'unité $\xi$ de $K$ ; en particulier $\Phi_n(\zeta) = 0$ .

(iii) Si $K$ est de caractéristique nulle, ou de caractéristique $p$ ne divisant pas $n$ , le polynôme $X^n - 1$ est séparable sur $K$ , et un corps de décomposition de $X^n - 1$ sur $K$ contient une racine primitive $n$ -ième de l'unité.

(iv) Dans $\mathbb Z[X]$ , $X^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d,$ et $\Phi_n$ est unitaire de degré $\varphi(n)$ .

Démonstration

(i) Le sous-groupe $\langle\zeta\rangle$ a $n$ éléments $1, \zeta, \dots, \zeta^{n-1}$ , tous racines de $X^n - 1$ (Groupes cycliques, (i)). Comme $X^n - 1$ a au plus $n$ racines dans $K$ , $\mu_n(K) = \langle\zeta\rangle$ . Le produit des $X - \zeta^k$ divise $X^n - 1$ (Racines, (iii)) ; les deux sont unitaires de degré $n$ , donc égaux. La dernière assertion est le point (iii) du nœud Groupes cycliques.

(ii) Par récurrence forte sur $n$ , pour tous les corps $K$ à la fois. Pour $n = 1$ , le seul élément d'ordre $1$ est $1$ , et $\Phi_1 = X - 1$ . Soit $n \geqslant 2$ . Pour $d \mid n$ , notons $P_d = \prod (X - \xi)$ , le produit portant sur les $\xi \in \mu_n(K)$ d'ordre $d$ . L'ordre de tout élément de $\mu_n(K)$ divise $n$ : en regroupant les facteurs de (i) selon l'ordre de $\zeta^k$ , $X^n - 1 = \prod_{d \mid n} P_d.$

Pour $d \mid n$ avec $d < n$ , l'élément $\zeta^{n/d}$ est d'ordre $d$ (Groupes cycliques, (iii)) : $K$ contient une racine primitive $d$ -ième de l'unité. Tout élément d'ordre $d$ de $K^\times$ vérifie $x^n = 1$ , donc appartient à $\mu_n(K)$ ; ainsi $P_d$ est le produit des $X - \xi$ sur les racines primitives $d$ -ièmes de $K$ , et il est l'image de $\Phi_d$ par l'hypothèse de récurrence.

Il vient $X^n - 1 = \Psi_n \cdot P_n$ dans $K[X]$ , où $\Psi_n$ désigne son image. Par ailleurs, $X^n - 1 = \Psi_n\Phi_n + R$ dans $\mathbb Z[X]$ , avec $\deg R < \deg\Psi_n$ ; l'image de cette égalité est une division euclidienne par le polynôme unitaire $\Psi_n$ dans $K[X]$ . Par unicité (Division des polynômes, (i)), l'image de $\Phi_n$ est $P_n$ , et celle de $R$ est nulle.

(iii) La dérivée de $P = X^n - 1$ est $P' = n X^{n-1}$ , et $n \cdot 1_K \neq 0$ par hypothèse ; alors $(n \cdot 1_K)^{-1}X \cdot P' - P = 1,$ et $P$ est premier avec $P'$ , donc séparable (Séparabilité, (ii)). Dans un corps de décomposition $\Omega$ , $P$ a donc $n$ racines distinctes : $\mu_n(\Omega)$ a $n$ éléments. C'est un sous-groupe fini de $\Omega^\times$ , donc il est cyclique (Groupe multiplicatif, (iii)), et un générateur est d'ordre $n$ .

(iv) Soit $\Omega$ un corps de décomposition de $X^n - 1$ sur ${\mathbb Q}$ ; il est de caractéristique nulle, et le morphisme $\mathbb Z \to \Omega$ est injectif (Séparabilité, (iii)). Par (iii), $\Omega$ contient une racine primitive $n$ -ième de l'unité, et la preuve de (ii) montre que l'image de $R$ dans $\Omega[X]$ est nulle ; comme $\mathbb Z \to \Omega$ est injectif, $R = 0$ , et $X^n - 1 = \Psi_n\Phi_n = \prod_{d \mid n} \Phi_d$ .

Le degré $\varphi(n)$ et le caractère unitaire de $\Phi_n$ ont été établis avec sa définition.

□

Remarque

Les premiers polynômes sont $\Phi_2 = X + 1$ , $\Phi_3 = X^2 + X + 1$ , $\Phi_4 = X^2 + 1$ , $\Phi_6 = X^2 - X + 1$ et $\Phi_{12} = X^4 - X^2 + 1.$ Pour $p$ premier, $X^p - 1 = \Phi_1\Phi_p$ donne $\Phi_p = X^{p-1} + \cdots + X + 1$ : c'est le polynôme dont le nœud Eisenstein a déjà établi l'irréductibilité.

Les douze racines de

X^{12} - 1

dans

\mathbb C

s'écrivent avec des racines carrées seulement :

\pm 1

\pm i

\frac{\pm 1 \pm i\sqrt 3}2

\frac{\pm\sqrt 3 \pm i}2

. Elles sont groupées selon leur ordre

d

, diviseur de

12

; chaque groupe est l'ensemble des racines de

\Phi_d

, et les six groupes, de cardinaux

\varphi(d)

, donnent

X^{12} - 1 = \Phi_1\Phi_2\Phi_3\Phi_4\Phi_6\Phi_{12}

. Les racines primitives douzièmes, en rouge, sont les sommets d'un rectangle de côtés

1

\sqrt 3

Remarque

Pour $n \leqslant 104$ , tous les coefficients de $\Phi_n$ valent $-1$ , $0$ ou $1$ , ce qu'on vérifie par le calcul ; jusqu'à $n = 30$ , on le lit sur les polynômes eux-mêmes, comme $\Phi_{30} = X^8 + X^7 - X^5 - X^4 - X^3 + X + 1$ .

Il serait tentant d'en faire une règle, et c'est une erreur : $\Phi_{105}$ , de degré $\varphi(105) = 48$ , a pour coefficients de $X^7$ et de $X^{41}$ la valeur $-2$ . Le nombre $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ est le plus petit produit de trois nombres premiers impairs distincts ; pour un produit de deux nombres premiers, on montre que les coefficients restent dans $\{-1, 0, 1\}$ , ce qui est admis ici.

Remarque

Le point (iii) exige que la caractéristique ne divise pas $n$ . Dans $\mathbb F_p[X]$ , on a $X^p - 1 = (X - 1)^p$ (Binôme de Newton, (iv)) : la seule racine $p$ -ième de l'unité est $1$ , et il n'y a pas de racine primitive $p$ -ième. C'est l'hypothèse $p \nmid n$ qui servira au nœud Réduction modulo p.

Repose sur

Polynômes séparables et caractéristique

Sert à

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur ℚ