Réduction modulo p et Frobenius

(i) Dans l'anneau $\mathbb F_p[X]$, où $p \cdot 1 = 0$, l'application $F \mapsto F^p$ est un morphisme d'anneaux, le Frobenius (Binôme de Newton, (iv)). Pour $G = \sum_k a_kX^k$, il vient $$G^p = \sum_k a_k^p X^{kp}.$$

Pour $a \in \mathbb F_p$ non nul, $a^{p-1} = 1$, puisque le groupe $\mathbb F_p^\times$ est d'ordre $p - 1$ (Groupes cycliques, (i)) ; donc $a^p = a$ pour tout $a \in \mathbb F_p$, et $G^p = \sum_k a_kX^{kp} = G(X^p)$.

La réduction remplace chaque coefficient par sa classe ; elle commute donc à la substitution de $X^p$ à $X$, et $\pi\big(g(X^p)\big) = \pi(g)(X^p) = \pi(g)^p$.

(ii) Soit $P = X^n - 1$, de dérivée $P' = \bar n X^{n-1}$, avec $\bar n \neq 0$ dans le corps $\mathbb F_p$ puisque $p \nmid n$. Si $P = H^2Q$, la règle du produit (Dérivée formelle, (i)) donne $$P' = H\,(2H'Q + HQ'),$$ si bien que $H$ divise $P$ et $P'$, donc $$\bar n^{-1}X \cdot P' - P = 1.$$ Un diviseur de $1$ est constant (Anneau A[X], (iii)).

(iii) La division euclidienne de $A$ par le polynôme unitaire $B$ se fait dans $\mathbb Z[X]$ : $A = BQ + R$ avec $\deg R < \deg B$. C'est aussi la division dans $\mathbb Q[X]$ (Division des polynômes, (iii)), où le reste est nul par hypothèse. Ainsi $A = BQ$ avec $Q \in \mathbb Z[X]$, et $\pi(A) = \pi(B)\pi(Q)$, $\pi$ étant un morphisme.