Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur ℚ

Soit $\Omega$ un corps de décomposition de $X^n - 1$ sur $\mathbb Q$ ; il contient une racine primitive $n$-ième de l'unité (Polynômes cyclotomiques, (iii)). Soit $\xi$ l'une d'elles, et $f$ son polynôme minimal sur $\mathbb Q$. Comme $\Phi_n(\xi) = 0$ (même nœud, (ii)), $f$ divise $\Phi_n$ (Polynôme minimal, (i)) : $\Phi_n = fg$ dans $\mathbb Q[X]$, avec $g$ unitaire.

Les facteurs sont entiers. Écrivons $f = \lambda f_0$ et $g = \mu g_0$, avec $f_0, g_0 \in \mathbb Z[X]$ primitifs (Lemme de Gauss, (iii)). Alors $\Phi_n = \lambda\mu\,f_0g_0$, où $f_0g_0$ est primitif (même nœud, (ii)), de même que $\Phi_n$, qui est unitaire ; l'unicité de (iii) donne $\lambda\mu = \pm 1$.

Les coefficients dominants $a$ de $f_0$ et $b$ de $g_0$ vérifient donc $ab = \pm 1$, d'où $a = \pm 1$ ; comme $f = \lambda f_0$ est unitaire, $\lambda a = 1$ et $\lambda = \pm 1$ : $f \in \mathbb Z[X]$, puis $g \in \mathbb Z[X]$ (Réduction modulo p, (iii)).

Si $p$ est premier et ne divise pas $n$, alors $f(\xi^p) = 0$. L'élément $\xi^p$ est d'ordre $n/(n \wedge p) = n$ (Groupes cycliques, (iii)), donc racine de $\Phi_n$. Supposons $f(\xi^p) \neq 0$ ; alors $g(\xi^p) = 0$, puisque $\Omega$ est intègre.

Ainsi $\xi$ est racine de $h = g(X^p) \in \mathbb Z[X]$, et $f$ divise $h$ dans $\mathbb Q[X]$. Par le lemme de réduction (Réduction modulo p, (iii) puis (i)), $\pi(f)$ divise $$\pi(h) = \pi(g)^p.$$

Le polynôme $\pi(f)$ est unitaire de degré $\deg f \geqslant 1$ ; soit $u$ l'un de ses facteurs irréductibles dans $\mathbb F_p[X]$ (Irréductibles, (ii)). Il divise $\pi(g)^p$, donc $\pi(g)$ par le lemme d'Euclide (même nœud, (i)).

Alors $u^2$ divise $\pi(f)\pi(g) = \pi(\Phi_n)$, qui divise $\pi(X^n - 1)$, puisque $\Phi_n$ divise $X^n - 1$ dans $\mathbb Z[X]$ (Polynômes cyclotomiques, (iv)). C'est impossible, $X^n - 1$ n'ayant pas de facteur carré dans $\mathbb F_p[X]$ (Réduction modulo p, (ii)).

Toutes les racines primitives sont racines de $f$. L'argument précédent vaut pour toute racine primitive $\xi'$ de $\Omega$ telle que $f(\xi') = 0$, puisque $f$, unitaire et irréductible, est alors aussi le polynôme minimal de $\xi'$. Toute racine primitive de $\Omega$ s'écrit $\xi^k$ avec $k \geqslant 1$ et $k \wedge n = 1$ (Polynômes cyclotomiques, (i)), et $k$ est un produit $p_1 \cdots p_m$ de nombres premiers qui ne divisent pas $n$.

En appliquant l'argument successivement à $\xi$, $\xi^{p_1}$, $\xi^{p_1p_2}$, …, toutes racines primitives, on obtient $f(\xi^k) = 0$. Ainsi $f$ a au moins $\varphi(n)$ racines distinctes, $\deg f \geqslant \varphi(n) = \deg\Phi_n$, et $f$, unitaire, divisant $\Phi_n$, lui est égal.

Conséquence. Si $\zeta$ est une racine primitive dans un corps $K$ de caractéristique nulle, qui contient $\mathbb Q$ (Séparabilité, (iii)), alors $\Phi_n(\zeta) = 0$ (Polynômes cyclotomiques, (ii)), et le polynôme unitaire irréductible $\Phi_n$ est le polynôme minimal de $\zeta$ ; son degré est $\varphi(n)$ (Polynôme minimal, (ii)).