Théorème 4Cyclotomie et constructions

Le groupe de Galois d'un corps cyclotomique

Dans ce nœud, $\zeta$ est une racine primitive n-ième de l'unité dans un corps de caractéristique nulle, par exemple dans un corps de décomposition de $X^n - 1$ sur ${\mathbb Q}$ (Polynômes cyclotomiques, (iii)). Comme $\zeta^n = 1$ , la puissance $\zeta^a$ ne dépend que de la classe de $a$ dans ${\mathbb Z/n\mathbb Z}$ .

Énoncé

(i) $\mathbb Q(\zeta)$ est un corps de décomposition de $X^n - 1$ , et de $\Phi_n$ , sur $\mathbb Q$ ; l'extension $\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q$ est galoisienne de degré $\varphi(n)$ .

(ii) Pour tout $\sigma \in {\operatorname{Gal}}(\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q)$ , il existe une unique classe $a_\sigma \in (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ telle que $\sigma(\zeta) = \zeta^{a_\sigma}$ , et l'application $\sigma \mapsto a_\sigma$ est un isomorphisme de groupes de $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q)$ sur $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ . En particulier, ce groupe est abélien.

(iii) Si $n = p$ est premier, ce groupe est cyclique d'ordre $p - 1$ , et, pour chaque diviseur $d$ de $p - 1$ , $\mathbb Q(\zeta)$ a un unique sous-corps de degré $d$ sur $\mathbb Q$ .

Démonstration

(i) Le corps $\mathbb Q(\zeta)$ contient les $n$ racines $\zeta^k$ de $X^n - 1$ , qui y est donc scindé (Polynômes cyclotomiques, (i)), et il est engendré par l'une d'elles : c'est un corps de décomposition de $X^n - 1$ . Il est de même engendré par les racines de $\Phi_n$ , qui sont les racines primitives (même nœud, (ii)), parmi lesquelles $\zeta$ .

Le polynôme $X^n - 1$ est séparable en caractéristique nulle (même nœud, (iii)), donc l'extension est galoisienne (Extensions galoisiennes, (a)). Son degré est $\varphi(n)$ (Irréductibilité de Φₙ).

(ii) Comme $\sigma$ est un morphisme injectif, $\sigma(\zeta)^k = \sigma(\zeta^k)$ vaut $1$ si et seulement si $\zeta^k = 1$ : $\sigma(\zeta)$ est encore d'ordre $n$ , donc de la forme $\zeta^a$ avec $a \wedge n = 1$ (Polynômes cyclotomiques, (i)). La classe de $a$ modulo $n$ est unique, puisque $\zeta^a = \zeta^b$ équivaut à $n \mid a - b$ (Groupes cycliques, (i)).

Elle est inversible dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ : une relation de Bézout $au + nv = 1$ (PGCD, Bézout, (ii)) donne $\bar a\,\bar u = \bar 1$ . Réciproquement, si $\bar a\,\bar u = \bar 1$ , alors $au + nv = 1$ pour un entier $v$ , et $a \wedge n = 1$ : le groupe $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ a $\varphi(n)$ éléments.

Pour $\sigma, \tau$ dans le groupe, $(\sigma\tau)(\zeta) = \sigma(\zeta^{a_\tau}) = \sigma(\zeta)^{a_\tau} = \zeta^{a_\sigma a_\tau},$ donc $a_{\sigma\tau} = a_\sigma a_\tau$ . Un automorphisme qui fixe $\mathbb Q$ est déterminé par l'image de $\zeta$ , puisque $\mathbb Q(\zeta) = \mathbb Q[\zeta]$ (Polynôme minimal, (ii)) : le morphisme est injectif.

Le groupe de Galois a $[\mathbb Q(\zeta):\mathbb Q] = \varphi(n)$ éléments (Extensions galoisiennes, (b)), autant que $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ : le morphisme injectif est bijectif.

(iii) Pour $p$ premier, $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ est cyclique d'ordre $p - 1$ (Groupe multiplicatif, (iii)). Un groupe cyclique a un unique sous-groupe de chaque ordre divisant le sien (Groupes cycliques, (iii)), donc un unique sous-groupe d'indice $d$ . Par la correspondance de Galois (Théorème fondamental, (i)), les sous-corps de degré $d$ correspondent aux sous-groupes d'indice $d$ .

□

Remarque

Pour $n = 5$ , soit $\eta = \zeta + \zeta^4$ et $\eta' = \zeta^2 + \zeta^3$ . Alors $\eta + \eta' = -1$ , puisque $\Phi_5(\zeta) = 0$ , et $\begin{aligned} \eta\eta' &= \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta^6 + \zeta^7 \\ &= \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta + \zeta^2 = -1. \end{aligned}$ Donc $\eta^2 + \eta - 1 = 0$ : le sous-corps quadratique de $\mathbb Q(\zeta)$ , unique par (iii), est $\mathbb Q(\eta) = \mathbb Q(\sqrt 5)$ , puisque $(2\eta + 1)^2 = 5$ . C'est le sous-corps fixé par $\sigma : \zeta \mapsto \zeta^4$ , qui échange $\zeta$ et $\zeta^4$ .

Remarque

Le groupe n'est pas toujours cyclique. Pour $n = 8$ , $(\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times = \{\bar 1, \bar 3, \bar 5, \bar 7\}$ n'est pas cyclique, puisque $3^2$ , $5^2$ et $7^2$ sont congrus à $1$ modulo $8$ : aucun élément n'est d'ordre $4$ . Ce groupe d'ordre $4$ est donc isomorphe à $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ (Ordres p, p², 2p, pq), et $\mathbb Q(\zeta)$ a trois sous-corps quadratiques.

Comme $\zeta^4 = -1$ , on trouve $(\zeta^2)^2 = -1$ , puis $\begin{aligned} (\zeta + \zeta^{-1})^2 &= \zeta^2 + 2 + \zeta^{-2} = 2, \\ (\zeta - \zeta^{-1})^2 &= \zeta^2 - 2 + \zeta^{-2} = -2, \end{aligned}$ puisque $\zeta^2 + \zeta^{-2} = \zeta^{-2}(\zeta^4 + 1) = 0$ . Les trois sous-corps sont engendrés par des racines carrées de $-1$ , $2$ et $-2$ , et ils sont fixés respectivement par $\zeta \mapsto \zeta^5$ , $\zeta \mapsto \zeta^7$ et $\zeta \mapsto \zeta^3$ .

Remarque

Pour $q$ premier impair, le chapitre Réciprocité quadratique de la théorie algébrique des nombres construit une somme de Gauss $\tau$ , combinaison des $\zeta^a$ , telle que $\tau^2 = (-1)^{\frac{q-1}2}q$ (Sommes de Gauss). Il travaille dans un corps fini $\mathbb F_{p^n}$ , mais le calcul de $\tau^2$ n'emploie qu'un élément $\zeta$ d'ordre $q$ et le fait que $q$ n'est pas nul dans le corps : il vaut mot pour mot en caractéristique nulle, dans $\mathbb Q(\zeta_q)$ . Avec (iii), cela identifie l'unique sous-corps quadratique de $\mathbb Q(\zeta_q)$ : c'est le corps engendré par une racine carrée de $(-1)^{\frac{q-1}2}q$ , et l'on retrouve $\mathbb Q(\sqrt 5)$ pour $q = 5$ .

Remarque

Abel a montré (« Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement », J. reine angew. Math. 4, 1829, p. 131-156) que les équations dont toutes les racines s'expriment rationnellement en fonction de l'une d'elles, ces expressions commutant entre elles, sont résolubles par radicaux ; les équations de la division du cercle en sont le modèle. Kronecker a appelé « abéliennes » (Abelsche Gleichungen), en 1853, des équations qui, en termes modernes, ont un groupe de Galois cyclique ; l'emploi du mot pour les groupes commutatifs apparaît chez Weber en 1882, d'après J. Miller (Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics).

Le théorème de Kronecker-Weber, admis ici, affirme réciproquement que toute extension finie galoisienne de $\mathbb Q$ de groupe abélien est contenue dans un corps $\mathbb Q(\zeta)$ .

Repose sur

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur ℚ La correspondance de Galois

Sert à

Polygones réguliers constructibles L'heptadécagone par les périodes de Gauss