L'heptadécagone par les périodes de Gauss

Comme $\Phi_{17} = 1 + X + \cdots + X^{16}$ (Polynômes cyclotomiques) s'annule en $\zeta$ (même nœud, (ii)), la somme des $\zeta^c$ sur les seize classes $c$ non nulles modulo $17$ vaut $-1$. Les exposants ne comptent que modulo $17$.

(i) La première égalité est cette somme. Soit $H = \{1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16\}$, sous-groupe d'indice $2$ des puissances paires de $3$, et $N$ son complémentaire, formé des puissances impaires : $\eta_0 = \sum_{a \in H}\zeta^a$ et $\eta_1 = \sum_{b \in N}\zeta^b$.

Le produit $\eta_0\eta_1$ est la somme des $64$ termes $\zeta^{a+b}$, $(a, b) \in H \times N$. Pour une classe $c$, notons $N(c)$ le nombre de couples tels que $a + b \equiv c$. Comme $-1 \equiv 16 \in H$, la relation $a + b \equiv 0$ donnerait $b \equiv -a \in H$ : $N(0) = 0$.

Pour $s \in H$, $(a, b) \mapsto (sa, sb)$ envoie bijectivement les couples de somme $c$ sur ceux de somme $sc$ ; pour $t \in N$, $(a, b) \mapsto (tb, ta)$ envoie de même les couples de somme $c$ sur ceux de somme $tc$, puisque le produit de deux puissances impaires de $3$ est une puissance paire. Ainsi $N(c)$ est le même pour les seize classes non nulles, qui forment le groupe $H \cup N$, et vaut $\frac{64}{16} = 4$. Donc $$\eta_0\eta_1 = 4\sum_{c \neq 0}\zeta^c = -4.$$

(ii) Les égalités sur les sommes viennent des définitions. Les seize exposants $a + b$, pour $a \in \{1, 4, 13, 16\}$ et $b \in \{2, 8, 9, 15\}$, sont, modulo $17$, $$\begin{aligned} &3, 9, 10, 16, \quad 6, 12, 13, 2, \\ &15, 4, 5, 11, \quad 1, 7, 8, 14 : \end{aligned}$$ chaque classe non nulle apparaît une fois, et $y_0y_2 = -1$. De même, pour $a \in \{3, 5, 12, 14\}$ et $b \in \{6, 7, 10, 11\}$, on trouve $$\begin{aligned} &9, 10, 13, 14, \quad 11, 12, 15, 16, \\ &1, 2, 5, 6, \quad 3, 4, 7, 8, \end{aligned}$$ et $y_1y_3 = -1$.

(iii) La somme vient des définitions, et $$\begin{aligned} x_0x_4 &= \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{20} + \zeta^{29} \\ &= \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^3 + \zeta^{12} = y_1. \end{aligned}$$

(iv) $\zeta^2 - (\zeta + \zeta^{16})\zeta + 1 = 1 - \zeta^{17} = 0$.

Les corps fixes. Soit $\tau$ l'automorphisme de $\mathbb Q(\zeta)$ tel que $\tau(\zeta) = \zeta^3$ ; il existe, et il engendre le groupe de Galois, isomorphe à $(\mathbb Z/17\mathbb Z)^\times$ par $\tau^k \mapsto \bar 3^k$ (Gal(ℚ(ζ)/ℚ), (ii)). Notons $M_8$, $M_4$ et $M_2$ les corps fixés par $\langle\tau^2\rangle$, $\langle\tau^4\rangle$ et $\langle\tau^8\rangle$, d'ordres $8$, $4$ et $2$. Par la correspondance de Galois (Théorème fondamental, (i)), $\mathbb Q \subset M_8 \subset M_4 \subset M_2 \subset \mathbb Q(\zeta)$, chaque inclusion étant de degré $2$.

Les automorphismes $\tau^2$, $\tau^4$ et $\tau^8$ multiplient les exposants par $3^2 = 9$, $3^4 \equiv 13$ et $3^8 \equiv 16$, éléments des sous-groupes d'ordres $8$, $4$ et $2$ ; la multiplication par un élément d'un sous-groupe envoie chaque classe modulo ce sous-groupe sur elle-même. Ainsi $\eta_0, \eta_1 \in M_8$, les $y_j$ sont dans $M_4$, et $x_0, x_4 \in M_2$.

Les seize éléments $\zeta, \zeta^2, \dots, \zeta^{16}$ engendrent $\mathbb Q(\zeta)$, puisque $1 = -(\zeta + \cdots + \zeta^{16})$ et que $(1, \zeta, \dots, \zeta^{15})$ en est une base, $\Phi_{17}$, de degré $16$, étant le polynôme minimal de $\zeta$ (Irréductibilité de Φₙ, et Polynôme minimal, (ii)) ; ils en forment donc une base (Dimension, (ii)). Deux sommes de $\zeta^k$ sur des ensembles d'exposants disjoints non vides sont donc distinctes.

Or $\tau(\eta_0) = \eta_1$, $\tau^2(y_0) = y_2$, la multiplication par $9$ envoyant $\{1, 4, 13, 16\}$ sur $\{9, 2, 15, 8\}$, $\tau^4(x_0) = x_4$, puisque $13 \cdot 1 \equiv 13$ et $13 \cdot 16 \equiv 4$, et $\tau^8(\zeta) = \zeta^{16}$. Ainsi $\eta_0 \notin \mathbb Q$, $y_0 \notin M_8$, $x_0 \notin M_4$ et $\zeta \notin M_2$.

La tour. Comme $\mathbb Q \subsetneq \mathbb Q(\eta_0) \subset M_8$ et $[M_8 : \mathbb Q] = 2$, on a $\mathbb Q(\eta_0) = M_8$. Par (ii), $y_2 = -y_0^{-1}$, donc $\eta_0 = y_0 - y_0^{-1} \in \mathbb Q(y_0)$ ; ainsi $M_8 \subsetneq \mathbb Q(y_0) \subset M_4$, et $\mathbb Q(y_0) = M_4$.

Comme $x_0^2 - 2 = \zeta^2 + \zeta^{-2}$, puis $(x_0^2 - 2)^2 - 2 = \zeta^4 + \zeta^{-4} = x_4$, on a $y_0 = x_0 + x_4 \in \mathbb Q(x_0)$ ; ainsi $M_4 \subsetneq \mathbb Q(x_0) \subset M_2$, et $\mathbb Q(x_0) = M_2$.

Enfin, $\eta_0$ est racine de $T^2 + T - 4$ par (i), $y_0$ de $T^2 - \eta_0T - 1$ par (ii), $x_0$ de $T^2 - y_0T + y_1$ par (iii), avec $y_1 \in M_4 = \mathbb Q(y_0)$, et $\zeta$ de $X^2 - x_0X + 1$ par (iv).