Théorème 7Cyclotomie et constructions

Polygones réguliers constructibles

Soit $n \geqslant 3$. Si $z \in {\mathbb C}$ est une racine primitive n-ième de l'unité, alors $|z|^n = |z^n| = 1$, donc $|z| = 1$ ; les $n$ points distincts $1, z, \dots, z^{n-1}$ sont sur le cercle unité, et la multiplication par $z$, qui conserve les distances puisque $|zu - zv| = |u - v|$, envoie chacun sur le suivant : ils sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés de longueur $|z - 1|$.

On dit que le polygone régulier à $n$ côtés est constructible si $\mathbb C$ contient une racine primitive $n$-ième de l'unité constructible. Ses puissances sont alors constructibles, et ce sont toutes les racines n-ièmes de l'unité de $\mathbb C$ (Polynômes cyclotomiques, (i)) : la condition ne dépend pas de la racine primitive considérée. Deux racines primitives $z$ et $z^k$ donnent les mêmes sommets, parcourus dans un ordre différent : selon $k$, on obtient un polygone convexe ou un polygone étoilé, dont les côtés ont une autre longueur, $|z^k - 1|$ au lieu de $|z - 1|$.

Que $\mathbb C$ contienne une racine primitive $n$-ième de l'unité pour tout $n \geqslant 1$ découle de la trigonométrie de l'analyse réelle. Pour $z = \cos\frac{2\pi}n + i\sin\frac{2\pi}n$, les formules d'addition (Formules d'addition, (iii)) et une récurrence sur $k$ donnent $z^k = \cos\frac{2k\pi}n + i\sin\frac{2k\pi}n$ ; donc $z^k = 1$ si et seulement si $\cos\frac{2k\pi}n = 1$, c'est-à-dire si et seulement si $n$ divise $k$ (Paramétrage du cercle, (ii)), et $z$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité. L'existence découle aussi du théorème de d'Alembert-Gauss, admis au chapitre des nombres complexes. Le théorème qui suit n'a besoin ni de l'un ni de l'autre, puisqu'il construit lui-même ces racines quand elles sont constructibles.