Théorème de Wantzel

(b) ⇒ (a). Montrons $K_j \subset \mathcal C$ par récurrence sur $j$ ; c'est vrai pour $K_0 = \mathbb Q$, puisque $\mathcal C$ est un corps (Corps des constructibles, (i)).

Soit $\alpha \in K_j \setminus K_{j-1}$. Le degré $[K_{j-1}(\alpha) : K_{j-1}]$ divise $2$ et n'est pas $1$ (Extensions, degré) : il vaut $2$, donc $K_j = K_{j-1}(\alpha)$, et le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K_{j-1}$ s'écrit $X^2 + \beta X + \gamma$ (Polynôme minimal, (ii)).

Alors $\delta = 2\alpha + \beta$ vérifie $$\delta^2 = \beta^2 - 4\gamma \in K_{j-1} \subset \mathcal C ;$$ c'est une racine carrée d'un élément de $\mathcal C$, donc $\delta \in \mathcal C$ (Corps des constructibles, (iii)), puis $\alpha = \frac{\delta - \beta}2 \in \mathcal C$ et $K_j = K_{j-1} + K_{j-1}\alpha \subset \mathcal C$.

(a) ⇒ (b). Soit $z_0 = 0, z_1 = 1, \dots, z_m = z$ une suite de construction. Posons $F_1 = \mathbb Q(i)$, de degré $2$ sur $\mathbb Q$, puisque $X^2 + 1$ n'a pas de racine rationnelle ; et, pour $2 \leqslant k \leqslant m$, $$F_k = F_{k-1}(\operatorname{Re} z_k, \operatorname{Im} z_k).$$ Montrons par récurrence sur $k \geqslant 1$ que $F_k$ contient $i$ et $z_0, \dots, z_k$, est stable par la conjugaison, et vérifie $[F_k : F_{k-1}] \leqslant 2$ pour $k \geqslant 2$.

C'est clair pour $F_1$. Soit $k \geqslant 2$, $F = F_{k-1}$ et $R = F \cap {\mathbb R}$, sous-corps de $F$. Pour $a \in F$, on a $\bar a \in F$, donc $\operatorname{Re} a = \frac{a + \bar a}2$ et $\operatorname{Im} a = \frac{a - \bar a}{2i}$ sont dans $R$.

Équations. Un point $x + iy$ est sur la droite $(ab)$, avec $a, b \in F$ distincts, si et seulement si $(z - a)\overline{(b - a)}$ est réel, puisque $\frac1{b - a} = \frac{\overline{b - a}}{|b - a|^2}$ (Conjugué, module, (iii)). En écrivant que sa partie imaginaire est nulle, la droite est l'ensemble des solutions d'une équation $$ux + vy + w = 0,$$ avec $u, v, w \in R$ et $(u, v) \neq (0, 0)$.

Le cercle de centre $c \in F$ d'écartement $|d - e|$, avec $d, e \in F$, est l'ensemble des solutions de $(x - \operatorname{Re} c)^2 + (y - \operatorname{Im} c)^2 = |d - e|^2$, soit $$x^2 + y^2 + ux + vy + w = 0,$$ avec $u, v, w \in R$. Deux droites, ou deux cercles, qui ont la même équation sont égaux.

Intersections. Écrivons $z_k = x + iy$. Si $z_k$ est commun à deux droites distinctes, les couples $(u, v)$ et $(u', v')$ de leurs équations ne sont pas proportionnels. En effet, si $(u', v') = \lambda(u, v)$, alors $w' = -\lambda(ux + vy) = \lambda w$, puisque $z_k$ vérifie les deux équations ; la seconde serait $\lambda$ fois la première, et les deux droites seraient égales.

Le déterminant $\Delta = uv' - u'v$ est donc non nul, et la résolution du système $ux + vy = -w$, $u'x + v'y = -w'$ par combinaisons des deux équations donne $$x = \frac{vw' - v'w}\Delta, \qquad y = \frac{u'w - uw'}\Delta,$$ qui sont dans $R$ : $F_k = F$.

Si $z_k$ est commun à une droite d'équation $ux + vy + w = 0$ et à un cercle d'équation $x^2 + y^2 + u'x + v'y + w' = 0$, et si $v \neq 0$, alors $y = -\frac{ux + w}v \in R(x)$, et, en reportant dans l'équation du cercle, $x$ est racine d'un polynôme de degré $2$ à coefficients dans $R$, de coefficient dominant $1 + \frac{u^2}{v^2}$. Si $v = 0$, alors $x = -\frac wu \in R$, et $y$ est racine d'un polynôme unitaire de degré $2$ à coefficients dans $R$. Dans les deux cas, $F_k = F(t)$ avec $t \in \{x, y\}$ réel, racine d'un polynôme non nul de degré au plus $2$ de $R[X] \subset F[X]$ : $[F_k : F] \leqslant 2$.

Si $z_k$ est commun à deux cercles distincts, d'équations $x^2 + y^2 + ux + vy + w = 0$ et $x^2 + y^2 + u'x + v'y + w' = 0$, la différence de leurs équations est $(u - u')x + (v - v')y + (w - w') = 0$. Si l'on avait $u = u'$ et $v = v'$, alors $w \neq w'$, les cercles étant distincts, et cette équation n'aurait pas de solution ; c'est donc l'équation d'une droite qui passe par $z_k$, et l'on est ramené au cas précédent.

Stabilité. Dans tous les cas, $F_k = F(t)$ avec $t$ réel algébrique sur $F$, et $F(t) = F[t]$ (Polynôme minimal, (ii)). La conjugaison est un automorphisme de $\mathbb C$ (Conjugué, module, (ii)) qui envoie $P(t)$, pour $P \in F[X]$, sur $\bar P(t)$, où $\bar P$ a pour coefficients les conjugués de ceux de $P$, qui sont dans $F$ : $F_k$ est stable. Il contient $i$, $F$ et $z_k$.

Conclusion. En supprimant les répétitions dans la suite $\mathbb Q \subset F_1 \subset \cdots \subset F_m$, on obtient une suite de sous-corps de degrés successifs exactement $2$, dont le dernier, $F_m$, contient $z$.

Degré. Par multiplicativité (Extensions, degré), $[K_r : \mathbb Q] = 2^r$. Le nombre $z \in K_r$ est algébrique (Polynôme minimal, (iv)), et $[\mathbb Q(z) : \mathbb Q]$ divise $2^r$ ; par unicité de la décomposition en facteurs premiers (Nombres premiers, (ii)), c'est une puissance de $2$.