Lemme 2Cyclotomie et constructions

Points constructibles et constructions élémentaires

On identifie le plan à ${\mathbb C}$ , le point $(a, b)$ au nombre $a + ib$ , et la distance de $z$ à $w$ est $|z - w|$ (Conjugué, module). Soit $E \subset \mathbb C$ .

Une droite de $E$ est une partie $\{a + t(b - a) : t \in {\mathbb R}\}$ avec $a, b \in E$ distincts : c'est la droite tracée à la règle par $a$ et $b$ , notée $(ab)$ . Un cercle de $E$ est une partie $\{z : |z - c| = |d - e|\}$ avec $c, d, e \in E$ et $d \neq e$ : c'est le cercle tracé au compas, de centre $c$ , avec l'écartement $|d - e|$ .

Un point $z$ est constructible s'il existe une suite finie $z_0 = 0$ , $z_1 = 1$ , $z_2, \dots, z_m = z$ telle que, pour $2 \leqslant k \leqslant m$ , $z_k$ soit un point commun à deux droites distinctes, à une droite et un cercle, ou à deux cercles distincts de l'ensemble $\{z_0, \dots, z_{k-1}\}$ . On note $\mathcal C$ l'ensemble des points constructibles ; il contient $0$ et $1$ .

Énoncé

(i) Si $E \subset \mathcal C$ est fini, tout point commun à deux droites distinctes, à une droite et un cercle, ou à deux cercles distincts de $E$ est constructible.

Dans la suite, $a$ , $b$ et $c$ sont constructibles, et $a \neq b$ .

(ii) Le symétrique $2b - a$ de $a$ par rapport à $b$ est constructible.

(iii) Les deux points $u_\pm = a + \Big(\frac12 \pm i\,\frac{\sqrt 3}2\Big)(b - a),$ sommets des deux triangles équilatéraux de base $[a, b]$ , et le milieu $\frac{a + b}2$ , sont constructibles.

(iv) Le projeté orthogonal de $c$ sur $(ab)$ , c'est-à-dire le point $a + t(b - a)$ avec $t = \frac{\operatorname{Re}\big((c - a)\overline{(b - a)}\big)}{|b - a|^2},$ est constructible.

Démonstration

(i) Mettons bout à bout des suites de construction des points de $E$ , en ne gardant qu'une fois les deux premiers termes $0$ et $1$ : on obtient une suite de construction, puisque l'ensemble des points déjà construits ne fait que grandir. Le point considéré peut être ajouté à la fin.

(ii) Un point $a + s(b - a)$ de $(ab)$ , avec $s$ réel, est sur le cercle de centre $b$ d'écartement $|a - b|$ si et seulement si $|s - 1|\,|b - a| = |b - a|$ , c'est-à-dire $s = 0$ ou $s = 2$ . Le point $s = 2$ , commun à une droite et à un cercle de $\{a, b\}$ , est $2b - a$ ; il est constructible par (i).

(iii) Écrivons un point $z$ sous la forme $a + w(b - a)$ . Il est sur les cercles de centres $a$ et $b$ d'écartement $|b - a|$ si et seulement si $|w| = 1$ et $|w - 1| = 1$ .

La seconde condition s'écrit $|w|^2 - 2\operatorname{Re} w + 1 = 1$ : elle impose $\operatorname{Re} w = \frac12$ , puis $(\operatorname{Im} w)^2 = \frac34$ , d'où $w = \frac12 \pm i\frac{\sqrt 3}2$ (Racine carrée réelle). Ces deux cercles sont distincts, $a$ étant sur le second et pas sur le premier ; $u_+$ et $u_-$ sont constructibles par (i).

La droite $(u_+u_-)$ est formée des points $a + \Big(\frac12 + i\sqrt 3\,\big(\tfrac12 - s\big)\Big)(b - a), \quad s \in \mathbb R.$ Un tel point est sur $(ab)$ , où les points s'écrivent $a + t(b - a)$ avec $t$ réel, si et seulement si $\frac12 + i\sqrt3(\frac12 - s) = t$ , c'est-à-dire $s = t = \frac12$ , par unicité de l'écriture d'un complexe (Construction de ℂ). Les deux droites sont distinctes, et leur point commun $\frac{a + b}2$ est constructible par (i).

(iv) Si $c = a$ , alors $t = 0$ et le projeté est $a$ . Sinon, un point $a + s(b - a)$ de $(ab)$ est sur le cercle de centre $c$ d'écartement $|c - a|$ si et seulement si $|a - c + s(b - a)|^2 = |a - c|^2,$ c'est-à-dire, en développant comme au nœud Conjugué, module, (iv), $s^2|b - a|^2 - 2s\operatorname{Re}\big((c - a)\overline{(b - a)}\big) = 0,$ soit $s = 0$ ou $s = 2t$ .

Si $t = 0$ , le projeté est $a$ . Sinon, le point $a' = a + 2t(b - a)$ est constructible par (i), et le projeté est le milieu de $a$ et $a'$ , constructible par (iii).

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Remarque

Le compas employé ici garde son écartement quand on le déplace. Le compas d'Euclide se referme dès qu'on le lève, et ne trace que des cercles de centre $c$ passant par un point donné ; la proposition 2 du livre I des Éléments montre qu'il permet néanmoins de reporter une longueur, si bien que les deux définitions donnent les mêmes points constructibles.

Les deux cercles de centres

a

b

et de rayon

|b - a|

se coupent en

u_+

u_-

; la droite qui les joint est la médiatrice de

[a, b]

, qui coupe

(ab)

en son milieu

m

. Le symétrique

2b - a

est le second point commun à

(ab)

et au cercle de centre

b

Remarque

On ne suppose pas que les intersections soient « visibles » : un cercle et une droite tangents n'ont qu'un point commun, et deux cercles disjoints aucun. La définition ne retient que les points communs effectivement présents, et c'est pourquoi la preuve de (iv) distingue le cas $t = 0$ , où la droite est tangente au cercle.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Le corps des nombres constructibles