Le corps des nombres constructibles

Les renvois (i) à (iv) sans autre précision sont ceux du nœud Points constructibles.

Somme et opposé. Pour $z \in \mathcal C$ non nul, $-z$ est le symétrique de $z$ par rapport à $0$, constructible par (ii). Pour $z, w \in \mathcal C$, le milieu $m = \frac{z + w}2$ est constructible par (iii), ou vaut $z$ si $z = w$. Alors $z + w$ est le symétrique de $0$ par rapport à $m$ si $m \neq 0$, et vaut $0$ sinon : il est constructible.

Les axes et $i$. Le point $-1$, symétrique de $1$ par rapport à $0$, est constructible. Les points $u_\pm$ de (iii) pour $a = -1$ et $b = 1$ sont $\pm i\sqrt 3$ ; la droite qui les joint est l'axe $i{\mathbb R}$, et elle coupe le cercle de centre $0$ d'écartement $|1 - 0|$ en $i$ et $-i$, qui sont constructibles par (i).

Parties réelle et imaginaire. Pour $z \in \mathcal C$, le projeté de $z$ sur la droite $(0\,1) = \mathbb R$ est $\operatorname{Re} z$, et son projeté sur $(0\,i) = i\mathbb R$ est $i\operatorname{Im} z$, par la formule de (iv) ; ils sont constructibles.

Pour $x$ réel non nul, le cercle de centre $0$ d'écartement $|x - 0|$ coupe $i\mathbb R$ en $\pm ix$, et celui d'écartement $|ix - 0|$ coupe $\mathbb R$ en $\pm x$ ; ces points sont constructibles par (i) dès que $x$, ou $ix$, l'est. Ainsi $x \in \mathcal C$ si et seulement si $ix \in \mathcal C$, et (ii) en découle, avec la somme : $z = \operatorname{Re} z + i\operatorname{Im} z$.

Produit et inverse des réels. Soient $x, y$ réels constructibles non nuls. Le point $x + iy - 1$ est constructible ; la droite qui le joint à $x$ est formée des points $$x + s(iy - 1) = (x - s) + isy, \quad s \in \mathbb R,$$ et elle coupe $i\mathbb R$, dont elle est distincte puisque $x \notin i\mathbb R$, pour $s = x$, au point $ixy$, constructible par (i). Ainsi $xy \in \mathcal C$.

De même, la droite qui joint $1$ au point constructible $1 + i - x$ est formée des points $(1 - sx) + is$, et elle coupe $i\mathbb R$ pour $s = \frac1x$ : le point $\frac ix$, donc $\frac1x$, est constructible.

Corps. Pour $z = x + iy$ et $w = u + iv$ constructibles, les réels $x, y, u, v$ le sont, donc aussi $xu - yv$ et $xv + yu$, et $zw = (xu - yv) + i(xv + yu)$ par (ii). De même $\bar z = x + i(-y) \in \mathcal C$, et, pour $z \neq 0$, $$\frac1z = \bar z \cdot \frac1{x^2 + y^2}$$ (Conjugué, module, (iii)) est constructible. Avec $0$ et $1$, cela démontre (i).

Racines carrées. Soit $r \geqslant 0$ réel constructible ; si $r = 0$, $\sqrt r = 0$. Supposons $r > 0$, et soit $c = \frac{r - 1}2 \in \mathcal C$. Le cercle de centre $c$ d'écartement $|r - c| = \frac{r + 1}2$, qui passe par $r$ et $-1$, rencontre $i\mathbb R$ aux points $iy$ tels que $$c^2 + y^2 = \Big(\frac{r + 1}2\Big)^2,$$ c'est-à-dire $y^2 = r$ : le point $i\sqrt r$, donc $\sqrt r$, est constructible.

Pour $z = a + ib \in \mathcal C$, les réels $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ puis $\sqrt{\frac{|z| + a}2}$ et $\sqrt{\frac{|z| - a}2}$ sont donc constructibles, et la racine carrée $w$ de $z$ donnée par le nœud Racines carrées complexes, (i), l'est aussi, ainsi que $-w$ ; ce sont toutes les racines carrées de $z$.