ChapitreThéorie de Galois

Cyclotomie et constructions à la règle et au compas

Le chapitre démontre d'abord le théorème de l'élément primitif : une extension finie séparable est engendrée par un seul élément, par le groupe multiplicatif cyclique si le corps est fini, et par un calcul de PGCD s'il est infini.

Il définit ensuite les polynômes cyclotomiques $\Phi_n$, à coefficients entiers, qui vérifient $X^n - 1 = \prod_{d \mid n}\Phi_d$, et démontre leur irréductibilité sur ${\mathbb Q}$ par l'argument de Dedekind : réduction modulo un nombre premier $p$ ne divisant pas $n$, où le Frobenius donne $g(X^p) = g^p$, et où $X^n - 1$ n'a pas de facteur carré. Le groupe de Galois de $\mathbb Q(\zeta)$, pour $\zeta$ racine primitive $n$-ième de l'unité, est alors $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.

La seconde partie traite des constructions à la règle et au compas. Les points constructibles à partir de $0$ et $1$ forment un sous-corps de ${\mathbb C}$ stable par racine carrée, et le théorème de Wantzel le caractérise par les tours d'extensions quadratiques ; la duplication du cube et la trisection de l'angle de 60° sont impossibles. Le théorème de Gauss-Wantzel en découle : le polygone régulier à $n$ côtés est constructible si et seulement si $\varphi(n)$ est une puissance de $2$, c'est-à-dire si $n$ est le produit d'une puissance de $2$ et de nombres premiers de Fermat distincts ; l'heptadécagone est construit explicitement par les périodes de Gauss.

Les racines de l'unité sont prises dans un corps de décomposition abstrait, puis plongées dans $\mathbb C$ par des racines carrées seulement : ni le théorème de d'Alembert-Gauss, admis au chapitre des nombres complexes, ni l'exponentielle complexe, qui n'est pas en amont, ne sont employés. Aucune forme du choix n'intervient.