Théorème de l'élément primitif

(i) Soit $\Omega$ un corps de décomposition sur $L$ du produit $\mu_\alpha\mu_\beta$ des polynômes minimaux de $\alpha$ et de $\beta$ sur $K$ (Corps de décomposition, (i)). Notons $\alpha_1 = \alpha, \dots, \alpha_r$ les racines de $\mu_\alpha$ dans $\Omega$, et $\beta_1 = \beta, \dots, \beta_s$ celles de $\mu_\beta$, deux à deux distinctes puisque $\mu_\beta$ est séparable.

Pour $1 \leqslant i \leqslant r$ et $2 \leqslant j \leqslant s$, l'équation $\alpha_i + c\beta_j = \alpha + c\beta$ a au plus une solution $c \in K$, puisque $\beta_j \neq \beta$. Comme $K$ est infini, il existe donc des $c \in K$, tous sauf un nombre fini, tels que $c \neq 0$ et $$\alpha + c\beta \neq \alpha_i + c\beta_j \quad \text{pour tous } i \text{ et } j \geqslant 2.$$

Fixons un tel $c$, et posons $\gamma = \alpha + c\beta$ et $F = K(\gamma) \subset L$. Le polynôme $h(X) = \mu_\alpha(\gamma - cX)$ est à coefficients dans $F$ ; il est de degré $\deg\mu_\alpha \geqslant 1$ puisque $c \neq 0$, donc non nul. Il s'annule en $\beta$, puisque $h(\beta) = \mu_\alpha(\alpha) = 0$, mais en aucun $\beta_j$ avec $j \geqslant 2$, car $\gamma - c\beta_j$ n'est aucun des $\alpha_i$.

Soit $D$ le PGCD de $h$ et de $\mu_\beta$ dans $F[X]$ ; c'est aussi leur PGCD dans $\Omega[X]$ (K[X] principal, (ii) et (iv)). Dans $\Omega[X]$, le polynôme $X - \beta$ divise $h$ et $\mu_\beta$ (Racines, (i)), donc $D$.

Inversement, $D$ divise $$\mu_\beta = \prod_{j=1}^s (X - \beta_j),$$ et, par unicité de la factorisation dans $\Omega[X]$ (Irréductibles, (ii)), $D$, unitaire, est le produit de certains des $X - \beta_j$. Chacun de ces $\beta_j$ est racine de $D$, donc de $h$, ce qui impose $j = 1$ : $D = X - \beta$.

Comme $D \in F[X]$, on a $\beta \in F$, puis $\alpha = \gamma - c\beta \in F$. Ainsi $L = K(\alpha, \beta) \subset F \subset L$.

(ii) Si $K$ est fini, $L$, de dimension finie sur $K$, est fini, et son groupe multiplicatif est cyclique (Groupe multiplicatif, (iii)) ; un générateur $\gamma$ de $L^\times$ vérifie $L = K(\gamma)$, puisque tout élément non nul de $L$ en est une puissance.

Si $K$ est infini, soit $(e_1, \dots, e_m)$ une base de $L$ sur $K$, de sorte que $L = K(e_1, \dots, e_m)$. Par récurrence sur $k$, $K(e_1, \dots, e_k)$ est de la forme $K(\gamma_k)$ : c'est clair pour $k = 1$, et $$\begin{aligned} K(e_1, \dots, e_{k+1}) &= K(\gamma_k, e_{k+1}) \\ &= K(\gamma_{k+1}) \end{aligned}$$ par (i), appliqué à $\alpha = \gamma_k$ et à $\beta = e_{k+1}$, séparable puisque l'extension l'est.

(iii) Toute extension finie est algébrique (Polynôme minimal, (iv)). En caractéristique nulle, un polynôme minimal, irréductible, est séparable (Séparabilité, (iv)) : l'extension est séparable, et l'on applique (ii).