Duplication du cube et trisection de l'angle

(i) Le polynôme $X^3 - 2$ est irréductible sur ${\mathbb Q}$ par le critère d'Eisenstein avec $p = 2$ (Eisenstein, (i)). Si $x^3 = 2$, il est donc le polynôme minimal de $x$, et $[\mathbb Q(x):\mathbb Q] = 3$, qui n'est pas une puissance de $2$ : $x$ n'est pas constructible (Wantzel).

(ii) Le point $u$ est constructible, $\mathcal C$ étant un corps qui contient $i$ (Corps des constructibles, (i)) et $\sqrt 3$ (même nœud, (iii)) ; on a $|u| = |u - 1| = 1$.

Supposons $w \in \mathcal C$ et $w^3 = u$. Alors $|w|^3 = |u| = 1$, donc $|w| = 1$, la fonction $t \mapsto t^3$ étant strictement croissante sur les réels positifs, et $\bar w = w^{-1}$ (Conjugué, module, (iii)). Le réel $t = w + w^{-1}$ est constructible, et $$\begin{aligned} t^3 &= w^3 + 3w + 3w^{-1} + w^{-3} \\ &= u + \bar u + 3t = 1 + 3t. \end{aligned}$$

Le polynôme $X^3 - 3X - 1$ n'a pas de racine rationnelle. Si $\frac ab$, avec $b \geqslant 1$ et $a \wedge b = 1$, en était une, on aurait $a^3 = b^2(3a + b)$ : un facteur premier de $b$ diviserait $a^3$, donc $a$ par le lemme d'Euclide (Nombres premiers, (i)), ce qui est exclu ; donc $b = 1$, puis $a(a^2 - 3) = 1$ et $a = \pm 1$, alors que $1 - 3 - 1 = -3$ et $-1 + 3 - 1 = 1$ ne sont pas nuls.

De degré $3$ sans racine dans $\mathbb Q$, il est irréductible (Irréductibles, (iii)), et $[\mathbb Q(t):\mathbb Q] = 3$ : $t$ n'est pas constructible, contradiction.