Plongement dans ℂ d'une tour quadratique

(i) Un groupe abélien d'ordre $2^k$, $k \geqslant 1$, a un sous-groupe d'indice $2$. Il est isomorphe à un produit $\mathbb Z/2^{k_1}\mathbb Z \times K$ avec $k_1 \geqslant 1$ (Groupes abéliens finis, (ii)). Dans $\mathbb Z/2^{k_1}\mathbb Z$, le sous-groupe engendré par $\bar 2$ a $2^{k_1 - 1}$ éléments (Groupes cycliques, (iii)) ; son produit par $K$ est d'indice $2$.

Par récurrence, on obtient des sous-groupes $G = H_0 \supset H_1 \supset \cdots \supset H_s = \{\mathrm{id}\}$, avec $|H_j| = 2^{s-j}$, chacun étant pris d'indice $2$ dans le précédent, abélien comme lui. Posons $L_j = L^{H_j}$. Par la correspondance de Galois (Théorème fondamental, (i)), $L_0 = \mathbb Q$, $L_s = L$, $L_{j-1} \subset L_j$ et $$[L_j : L_{j-1}] = \frac{[L : L_{j-1}]}{[L : L_j]} = \frac{|H_{j-1}|}{|H_j|} = 2.$$

(ii) Construisons par récurrence sur $j$ des morphismes de corps $\sigma_j : L_j \to \mathbb C$, chacun prolongeant le précédent. Pour $j = 0$, $\sigma_0$ est l'identification de $\mathbb Q$ au sous-corps de $\mathbb C$ engendré par $1$ (Séparabilité, (iii)).

Soit $\alpha \in L_j \setminus L_{j-1}$ ; comme dans la preuve du nœud Wantzel, $L_j = L_{j-1}(\alpha)$ et le polynôme minimal de $\alpha$ sur $L_{j-1}$ est $\mu = X^2 + \beta X + \gamma$. Son transporté $X^2 + \sigma_{j-1}(\beta)X + \sigma_{j-1}(\gamma)$ a une racine $\alpha'$ dans $\mathbb C$, par la résolution du second degré (Racines carrées complexes, (ii)).

L'application $P \mapsto P^{\sigma_{j-1}}(\alpha')$, qui applique $\sigma_{j-1}$ aux coefficients puis évalue en $\alpha'$, est un morphisme d'anneaux de $L_{j-1}[X]$ dans $\mathbb C$ (Évaluation, (i)), nul sur $\mu$, donc sur l'idéal $(\mu)$. Son noyau est un idéal propre, puisque $1 \mapsto 1$, qui contient l'idéal $(\mu)$ ; celui-ci est maximal, $\mu$ étant irréductible (Polynôme minimal, preuve de (ii)), donc le noyau est $(\mu)$. Le morphisme passe au quotient en un morphisme injectif $L_{j-1}[X]/(\mu) \to \mathbb C$ (Anneau quotient), que l'on compose avec l'isomorphisme $L_j = L_{j-1}[\alpha] \cong L_{j-1}[X]/(\mu)$ (Polynôme minimal, (ii)) : c'est $\sigma_j$, défini par $$\sigma_j\big(P(\alpha)\big) = P^{\sigma_{j-1}}(\alpha'),$$ qui prolonge $\sigma_{j-1}$ et envoie $\alpha$ sur $\alpha'$.

Soit $\sigma = \sigma_s$, injectif comme tout morphisme issu d'un corps. Les corps $\sigma(L_j)$ forment une suite croissante de sous-corps de $\mathbb C$, avec $\sigma(L_0) = \mathbb Q$ et $[\sigma(L_j) : \sigma(L_{j-1})] = 2$, puisque $\sigma$ transporte une base de $L_j$ sur $L_{j-1}$ en une base de $\sigma(L_j)$ sur $\sigma(L_{j-1})$. Par le théorème de Wantzel (Wantzel, (b) ⇒ (a)), tout élément de $\sigma(L) = \sigma(L_s)$ est constructible.