Théorème 5Réciprocité quadratique

Seconde démonstration, par les sommes de Gauss

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs distincts, $P = \frac{p-1}2$ et $Q = \frac{q-1}2$ . La classe de $p$ est inversible modulo $q$ ; soit $n$ son ordre dans le groupe $({\mathbb Z/q\mathbb Z})^\times$ , de sorte que $p^n \equiv 1 \pmod q$ (Groupes cycliques, (i)).

Soit $F = {\mathbb F_{p^n}}$ le corps à $p^n$ éléments (Corps finis, (iii)), qui contient $\mathbb F_p$ . Son groupe multiplicatif est cyclique d'ordre $p^n - 1$ (même nœud, (ii)), multiple de $q$ ; il a donc un sous-groupe cyclique d'ordre $q$ (Groupes cycliques, (iii)), dont on fixe un générateur $\zeta$ , élément d'ordre $q$ .

Comme $\zeta^q = 1$ , la puissance $\zeta^a$ ne dépend que de la classe de $a$ modulo $q$ . Les entiers sont vus dans $F$ par le morphisme $\mathbb Z \to F$ , de noyau $p{\mathbb Z}$ , $F$ étant de caractéristique $p$ (Corps finis, (i)). La somme de Gauss est $\tau = \sum_{a=1}^{q-1} \Big(\frac aq\Big)\zeta^a \in F,$ et l'on pose $q^* = (-1)^Q q$ .

Énoncé

(i) $\tau^2 = q^*$ dans $F$ ; en particulier $\tau \neq 0$ .

(ii) $\tau^p = \big(\frac pq\big)\tau$ .

(iii) Par conséquent $\big(\frac pq\big) = \big(\frac{q^*}p\big)$ , ce qui équivaut à la loi de réciprocité quadratique (Réciprocité quadratique).

Démonstration

Deux sommes nulles. Pour $c \in \mathbb Z$ non divisible par $q$ , l'élément $\eta = \zeta^c$ est différent de $1$ , puisque $\zeta$ est d'ordre $q$ (Groupes cycliques, (i)). Comme $(\eta - 1)\sum_{a=0}^{q-1}\eta^a = \eta^q - 1 = 0$ et que $F$ est un corps, $\sum_{a=0}^{q-1}\zeta^{ac} = 0$ ; si $q$ divise $c$ , cette somme vaut $q$ .

Par ailleurs, $\sum_{a=1}^{q-1}\big(\frac aq\big) = 0$ , puisqu'il y a autant de résidus que de non-résidus parmi $1, \dots, q - 1$ (Symbole de Legendre, (i)).

(i) Par multiplicativité du symbole (même nœud, (iii)), $\tau^2 = \sum_{a=1}^{q-1}\sum_{b=1}^{q-1}\Big(\frac{ab}q\Big)\zeta^{a+b}.$

Pour $a$ fixé, la multiplication par la classe inversible de $a$ permute les classes non nulles modulo $q$ : quand $b$ parcourt $1, \dots, q - 1$ , l'unique $c \in \{1, \dots, q - 1\}$ tel que $b \equiv ac$ les parcourt aussi. Comme $\big(\frac{ab}q\big) = \big(\frac aq\big)^2\big(\frac cq\big) = \big(\frac cq\big)$ , $\tau^2 = \sum_{c=1}^{q-1}\Big(\frac cq\Big)\sum_{a=1}^{q-1}\zeta^{a(1+c)}.$

La somme intérieure vaut $q - 1$ pour $c = q - 1$ , et $-1$ sinon, par le calcul préliminaire, dont on retire le terme $a = 0$ . Ainsi $\begin{aligned} \tau^2 &= \Big(\frac{-1}q\Big)(q - 1) - \sum_{c=1}^{q-2}\Big(\frac cq\Big) \\ &= \Big(\frac{-1}q\Big)q, \end{aligned}$ la somme de tous les $\big(\frac cq\big)$ étant nulle. Par la première loi complémentaire (même nœud, (iv)), $\big(\frac{-1}q\big) = (-1)^Q$ , et $\tau^2 = q^*$ . L'entier $q^*$ n'est pas divisible par $p$ , donc n'est pas nul dans $F$ , et $\tau \neq 0$ .

(ii) Le Frobenius $x \mapsto x^p$ est un morphisme d'anneaux de $F$ , qui est de caractéristique $p$ (Binôme de Newton, (iv)). Comme $\big(\frac aq\big)^p = \big(\frac aq\big)$ , le symbole valant $\pm 1$ et $p$ étant impair, $\tau^p = \sum_{a=1}^{q-1}\Big(\frac aq\Big)\zeta^{ap} = \Big(\frac pq\Big)\sum_{a=1}^{q-1}\Big(\frac{ap}q\Big)\zeta^{ap},$ où l'on a écrit $\big(\frac aq\big) = \big(\frac pq\big)\big(\frac{ap}q\big)$ , puisque $\big(\frac pq\big)^2 = 1$ . Quand $a$ parcourt $1, \dots, q - 1$ , la classe de $ap$ parcourt les classes non nulles modulo $q$ , et chaque terme ne dépend que de cette classe : la dernière somme est $\tau$ .

(iii) Par (i), $\tau^p = \tau\,(\tau^2)^P = \tau\,(q^*)^P$ , et le critère d'Euler dans $\mathbb F_p \subset F$ (même nœud, (ii)) donne $(q^*)^P = \big(\frac{q^*}p\big)$ . Avec (ii), $\big(\frac pq\big)\tau = \big(\frac{q^*}p\big)\tau$ , et, comme $\tau \neq 0$ , les deux symboles sont égaux dans $F$ ; valant $\pm 1$ , avec $1 \neq -1$ dans $F$ , ils sont égaux.

Enfin, par multiplicativité et par la première loi complémentaire, $\big(\frac{q^*}p\big) = \big(\frac{-1}p\big)^Q\big(\frac qp\big) = (-1)^{PQ}\big(\frac qp\big)$ , ce qui est la loi de réciprocité.

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Remarque

Pour $q = 5$ et $p = 11$ , on a $11 \equiv 1 \pmod 5$ , donc $n = 1$ et $F = \mathbb F_{11}$ . L'élément $\zeta = 3$ est d'ordre $5$ , puisque $3^5 = 243 = 22 \cdot 11 + 1$ , et ses puissances $\zeta, \zeta^2, \zeta^3, \zeta^4$ sont $3, 9, 5, 4$ . Les résidus modulo $5$ étant $1$ et $4$ , il vient $\tau = 3 - 9 - 5 + 4 = -7 \equiv 4$ .

On vérifie $\tau^2 = 16 \equiv 5 = q^*$ , puis $\tau^{11} = \tau \cdot 5^5 \equiv \tau$ , puisque $5^5 = 3125 = 284 \cdot 11 + 1$ : on retrouve $\big(\frac{11}5\big) = 1$ , ce qui est clair directement, $11 \equiv 1^2 \pmod 5$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de chercher $\zeta$ dans $\mathbb F_p$ lui-même. Cela n'est possible que si $q$ divise $p - 1$ ; pour $p = 3$ et $q = 7$ , l'ordre de $3$ modulo $7$ est $6$ , et il faut aller jusqu'au corps $\mathbb F_{3^6}$ , à $729$ éléments. C'est la raison pour laquelle cette démonstration se place après la théorie des corps finis, alors que celle d'Eisenstein n'emploie que $\mathbb Z/p\mathbb Z$ .

Remarque

Le même calcul vaut dans tout corps de caractéristique différente de $q$ qui contient un élément d'ordre $q$ , par exemple dans ${\mathbb C}$ avec $\zeta = \cos\frac{2\pi}q + i\sin\frac{2\pi}q$ , que fournit la trigonométrie de l'analyse réelle (Gauss-Wantzel) et que l'analyse complexe notera $e^{2i\pi/q}$ : on y trouve $\tau^2 = q^*$ , si bien que $\sqrt{q^*}$ appartient au corps engendré par les racines $q$ -ièmes de l'unité. C'est le premier exemple du lien entre corps quadratiques et corps cyclotomiques : comme le groupe de Galois de ce corps est cyclique d'ordre $q - 1$ (Gal(ℚ(ζ)/ℚ), (iii)), $\mathbb Q(\sqrt{q^*})$ en est l'unique sous-corps quadratique.

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Loi de réciprocité quadratique

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