Théorie

Théorie algébrique des nombres

Elle étudie les anneaux d'entiers des corps de nombres, extensions finies de ${\mathbb Q}$ : les entiers de Gauss ${\mathbb Z[i]}$, les anneaux $\mathbb Z[\sqrt d]$. La factorisation unique en irréductibles peut y échouer, comme dans $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, où $6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$ ; elle est restaurée au niveau des idéaux (Kummer, Dedekind).

Un chapitre est consacré à la loi de réciprocité quadratique, qui relie, pour deux nombres premiers impairs distincts $p$ et $q$, les réponses aux questions « $p$ est-il un carré modulo $q$ ? » et « $q$ est-il un carré modulo $p$ ? », démontrée par le lemme de Gauss et le comptage, dû à Eisenstein, des points d'un réseau, puis par les sommes de Gauss dans un corps fini ; il contient aussi les théorèmes de Fermat et de Wilson.