Norme d'un idéal

(i) Écrivons $J = \mathfrak q_1 \cdots \mathfrak q_s$, produit d'idéaux premiers non nuls (Factorisation des idéaux), et posons $J^* = \mathfrak q_1' \cdots \mathfrak q_s'$, où $\mathfrak q_i'$ est le sous-groupe de $K$ défini au nœud Idéal inverse. Comme $\mathfrak q_i\mathfrak q_i' = \mathcal O$ pour chaque $i$, et que le produit est associatif et commutatif (Trois lemmes), on a $JJ^* = \mathcal O$.

Le produit $L = IJ^*$ est un sous-groupe de $K$ stable par multiplication par $\mathcal O$, et il est contenu dans $JJ^* = \mathcal O$ : c'est un idéal de $\mathcal O$. Enfin $$JL = (JJ^*)I = I.$$

(ii) Montrons d'abord $N(M\mathfrak p) = N(M)N(\mathfrak p)$ pour un idéal non nul $M$ et un idéal premier non nul $\mathfrak p$. Comme $M\mathfrak p \subset M$, le théorème de Lagrange donne, comme dans la preuve de Trois lemmes, (i), $$N(M\mathfrak p) = N(M) \cdot |M/M\mathfrak p|.$$

L'anneau $k = \mathcal O/\mathfrak p$ est un corps, puisque $\mathfrak p$ est maximal (Idéaux, (iii), et Idéaux premiers, maximaux, (ii)).

Le groupe $V = M/M\mathfrak p$ est un $k$-espace vectoriel pour la loi $$(x + \mathfrak p)(y + M\mathfrak p) = xy + M\mathfrak p,$$ bien définie puisque $\mathfrak pM$ et $xM\mathfrak p$ sont contenus dans $M\mathfrak p$ ; les axiomes viennent de ceux de l'anneau $\mathcal O$.

L'espace $V$ n'est pas nul : si l'on avait $M\mathfrak p = M = M\mathcal O$, la simplification par $M$ (Factorisation des idéaux) donnerait $\mathfrak p = \mathcal O$. Soit $y \in M$ hors de $M\mathfrak p$, de classe $\bar y \neq 0$ dans $V$, et soit $A = y\mathcal O + M\mathfrak p$, idéal compris entre $M\mathfrak p$ et $M$.

Par (i), $A = ML$ pour un idéal $L$, puis $M\mathfrak p = AL_2$ pour un idéal $L_2$. Ainsi $M\mathfrak p = M(LL_2)$, et la simplification par $M$ donne $\mathfrak p = LL_2 \subset L$. Par maximalité de $\mathfrak p$, $L = \mathfrak p$ ou $L = \mathcal O$ ; le premier cas donnerait $A = M\mathfrak p$, contre $y \notin M\mathfrak p$. Donc $A = M$.

Tout élément de $V$ est ainsi la classe d'un $xy + z$, avec $x \in \mathcal O$ et $z \in M\mathfrak p$, c'est-à-dire $\lambda\bar y$ avec $\lambda = x + \mathfrak p$ : l'application $\lambda \mapsto \lambda\bar y$ de $k$ dans $V$ est surjective. Elle est injective : si $(\lambda - \mu)\bar y = 0$ avec $\lambda \neq \mu$, la multiplication par l'inverse de $\lambda - \mu$ dans $k$ donne $\bar y = 0$. Donc $|V| = |k| = N(\mathfrak p)$.

Écrivons maintenant $J = \mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r$ (Factorisation des idéaux). Chaque idéal intermédiaire $I\mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_j$ est non nul, puisqu'il contient un produit d'éléments non nuls de $I, \mathfrak p_1, \dots, \mathfrak p_j$ et que $\mathcal O$ est intègre.

En appliquant ce qui précède $r$ fois, on obtient $$N(IJ) = N(I)N(\mathfrak p_1) \cdots N(\mathfrak p_r),$$ et, pour $I = \mathcal O$, qui est de norme $1$, $N(J) = N(\mathfrak p_1) \cdots N(\mathfrak p_r)$ : d'où $N(IJ) = N(I)N(J)$.

(iii) La conjugaison $\sigma : \alpha \mapsto \bar\alpha$ est un automorphisme d'anneau de $K$ (Norme, unités, (i)), qui est sa propre réciproque. Elle envoie $\mathcal O$ dans $\mathcal O$, un élément et son conjugué ayant même trace et même norme (Corps quadratiques, (i)).

Elle envoie aussi $\beta\mathcal O$ sur $\bar\beta\mathcal O$, et $$\alpha + \beta\mathcal O \mapsto \bar\alpha + \bar\beta\mathcal O$$ est une bijection de $\mathcal O/\beta\mathcal O$ sur $\mathcal O/\bar\beta\mathcal O$ : les idéaux $(\beta)$ et $(\bar\beta)$ ont même norme.

Posons $n = N(\beta) = \beta\bar\beta$ ; c'est un entier (Corps quadratiques), non nul puisque $\bar\beta = \sigma(\beta) \neq 0$. Le produit des idéaux $(\beta)$ et $(\bar\beta)$ est engendré par les produits $\beta x \cdot \bar\beta y = nxy$, avec $x, y \in \mathcal O$ : c'est l'idéal $(n)$.

Par unicité de l'écriture, $a + b\omega$ appartient à $n\mathcal O$ si et seulement si $n$ divise $a$ et $b$. Chaque classe modulo $n\mathcal O$ contient donc un et un seul élément $a + b\omega$ avec $0 \leqslant a, b < |n|$.

Elle en contient un, car on réduit $a$ et $b$ modulo $|n|$ par division euclidienne, ce qui retranche un élément de $n\mathcal O$ ; elle n'en contient qu'un, car la différence de deux tels éléments a des coordonnées de valeur absolue $< |n|$, non toutes deux nulles, et n'est pas dans $n\mathcal O$.

Ainsi $N(n\mathcal O) = n^2$. Par (ii), $$\begin{aligned} N(\beta\mathcal O)^2 &= N(\beta\mathcal O)N(\bar\beta\mathcal O) \\ &= N(n\mathcal O) = n^2. \end{aligned}$$

(iv) Si $N(I) = m$, le groupe additif $\mathcal O/I$ a $m$ éléments, et $m$ fois chacun d'eux est nul (Groupes cycliques, (i)) ; en particulier $m = m \cdot 1$ appartient à $I$. Alors $m\mathcal O \subset I$, et $I$ est la réunion de ses classes modulo $m\mathcal O$ : il est déterminé par une partie de l'ensemble $\mathcal O/m\mathcal O$, qui a $m^2$ éléments par (iii). Il y a donc au plus $2^{m^2}$ idéaux de norme $m$.

Si $N(I) = \ell$ est un nombre premier, écrivons $I = \mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r$ (Factorisation des idéaux). Par (ii), $\ell = N(\mathfrak p_1) \cdots N(\mathfrak p_r)$, et chaque $N(\mathfrak p_i)$ vaut au moins $2$, puisque $\mathfrak p_i \neq \mathcal O$. Il y a donc un seul facteur, et $I = \mathfrak p_1$ est premier.