Théorème 5Théorie algébrique des nombres

Factorisation unique des idéaux

Énoncé

Tout idéal non nul $I$ de $\mathcal O$ s'écrit $I = \mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r$ , produit d'idéaux premiers non nuls, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près. Par suite, si $I$ , $J$ , $J'$ sont des idéaux de $\mathcal O$ avec $I \neq \{0\}$ et $IJ = IJ'$ , alors $J = J'$ .

Démonstration

Existence, par récurrence sur l'indice $[\mathcal O : I]$ . Si $I = \mathcal O$ , le produit vide convient. Sinon, parmi les idéaux $J \neq \mathcal O$ qui contiennent $I$ , en nombre fini puisqu'ils correspondent à des parties de l'ensemble fini $\mathcal O/I$ , prenons-en un d'indice minimal, $\mathfrak p$ ; il est maximal par Trois lemmes, (i), donc premier (Idéaux premiers, maximaux, (iii)).

Alors $I\mathfrak p' \subset \mathfrak p\mathfrak p' = \mathcal O$ est un idéal, il contient $I$ puisque $1 \in \mathfrak p'$ , et il est différent de $I$ (Idéal inverse, (iii)) : il est d'indice plus petit, et s'écrit $\mathfrak p_2 \cdots \mathfrak p_r$ par hypothèse de récurrence. Donc $I = I(\mathfrak p'\mathfrak p) = (I\mathfrak p')\mathfrak p = \mathfrak p\,\mathfrak p_2 \cdots \mathfrak p_r.$

Unicité, par récurrence sur $r$ . Si $\mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r = \mathfrak q_1 \cdots \mathfrak q_s$ et $r = 0$ , alors $\mathcal O = \mathfrak q_1 \cdots \mathfrak q_s$ , contenu dans $\mathfrak q_1 \neq \mathcal O$ si $s \geqslant 1$ : donc $s = 0$ .

Si $r \geqslant 1$ , alors $s \geqslant 1$ par le cas précédent, les rôles étant échangés, et $\mathfrak p_1$ contient $\mathfrak q_1 \cdots \mathfrak q_s$ , donc l'un des $\mathfrak q_j$ , comme dans la preuve de Idéal inverse, (i), et $\mathfrak p_1 = \mathfrak q_j$ par maximalité.

En multipliant par $\mathfrak p_1'$ , qui vérifie $\mathfrak p_1'\mathfrak p_1 = \mathcal O$ , on simplifie par $\mathfrak p_1$ , et l'hypothèse de récurrence conclut. La simplification par $I$ s'obtient de même, facteur premier par facteur premier.

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Remarque

Dans $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ , soient $\mathfrak p = (2, 1 + \sqrt{-5})$ , $\mathfrak q = (3, 1 + \sqrt{-5})$ et $\mathfrak q' = (3, 1 - \sqrt{-5})$ . Ils sont premiers. En effet, pour un nombre premier $\ell$ et un entier $c$ tel que $c^2 \equiv -5 \pmod \ell$ , l'application $a + b\sqrt{-5} \mapsto \overline{a + bc}$ est un morphisme d'anneaux surjectif sur le corps $\mathbb Z/\ell\mathbb Z$ . Il est additif et envoie $1$ sur $1$ ; pour le produit, $\begin{aligned} &(a + b\sqrt{-5})(a' + b'\sqrt{-5}) \\ &\quad = (aa' - 5bb') + (ab' + a'b)\sqrt{-5} \end{aligned}$ a pour image la classe de $aa' + c^2bb' + (ab' + a'b)c = (a + bc)(a' + b'c)$ , puisque $c^2 \equiv -5$ .

Pour $(\ell, c) = (2, 1)$ , $(3, -1)$ et $(3, 1)$ , son noyau contient $\ell$ et $1 \pm \sqrt{-5}$ , et il est contenu dans l'idéal correspondant : si $a + bc \equiv 0$ , alors $a + b\sqrt{-5} = b(\sqrt{-5} - c) + (a + bc),$ où $\sqrt{-5} - c$ vaut $\sqrt{-5} - 1 = (1 + \sqrt{-5}) - 2$ , $1 + \sqrt{-5}$ ou $-(1 - \sqrt{-5})$ . Les trois idéaux sont donc des noyaux de morphismes surjectifs vers des corps, donc maximaux, puis premiers (Idéaux premiers, maximaux, (ii) et (iii)).

Ensuite $\mathfrak q\mathfrak q'$ est engendré par $9$ , $3(1 - \sqrt{-5})$ , $3(1 + \sqrt{-5})$ et $(1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}) = 6$ , tous multiples de $3$ , et contient $9 - 6 = 3$ : $\mathfrak q\mathfrak q' = (3)$ . De même, $\mathfrak p\mathfrak q$ est engendré par $6 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$ , $2(1 + \sqrt{-5})$ , $3(1 + \sqrt{-5})$ et $(1 + \sqrt{-5})^2$ , tous multiples de $1 + \sqrt{-5}$ , et contient $3(1 + \sqrt{-5}) - 2(1 + \sqrt{-5}) = 1 + \sqrt{-5}$ : $\mathfrak p\mathfrak q = (1 + \sqrt{-5})$ .

La conjugaison, automorphisme d'anneau, envoie $\mathfrak q$ sur $\mathfrak q'$ et fixe $\mathfrak p$ , qui contient $1 - \sqrt{-5} = 2 - (1 + \sqrt{-5})$ ; elle donne donc $\mathfrak p\mathfrak q' = (1 - \sqrt{-5})$ . Enfin, on a vu $\mathfrak p^2 = (2)$ (Idéaux, (ii)).

Les deux factorisations de $6$ en irréductibles, $6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}),$ sont deux façons de regrouper les quatre facteurs de l'unique factorisation $(6) = \mathfrak p^2\mathfrak q\mathfrak q'$ : $(\mathfrak p^2)(\mathfrak q\mathfrak q')$ et $(\mathfrak p\mathfrak q)(\mathfrak p\mathfrak q')$ .

Aucun des quatre facteurs n'est principal. Pour $\mathfrak p$ , c'est Idéaux, (ii).

Si l'on avait $\mathfrak q = (\gamma)$ , $N(\gamma)$ diviserait $N(3) = 9$ et $N(1 + \sqrt{-5}) = 6$ (Norme, unités, (i)), donc $3$ ; or $3$ n'est pas de la forme $a^2 + 5b^2$ , et $N(\gamma) = 1$ ferait de $\mathfrak q$ l'anneau tout entier, puis $\mathfrak q' = \mathfrak q\mathfrak q' = (3)$ , qui ne contient pas $1 - \sqrt{-5}$ . Le cas de $\mathfrak q'$ est symétrique, par conjugaison.

Les quatre facteurs premiers de

(6)

dans

\mathbb Z[\sqrt{-5}]

. En haut, on les regroupe en

\mathfrak p^2 = (2)

\mathfrak q\mathfrak q' = (3)

; en bas, en

\mathfrak p\mathfrak q = (1 + \sqrt{-5})

\mathfrak p\mathfrak q' = (1 - \sqrt{-5})

. Aucun des quatre facteurs n'est principal, ce qui explique que les éléments, eux, ne se factorisent pas de façon unique.

Remarque

Deux idéaux non nuls $I$ et $J$ sont dans la même classe s'il existe $\alpha, \beta \in \mathcal O$ non nuls tels que $\alpha I = \beta J$ ; la factorisation et l'idéal inverse font des classes un groupe, le groupe des classes, dont le neutre est la classe des idéaux principaux.

Ce groupe est fini. C'est l'objet de Groupe des classes, qui compare d'abord la norme d'un produit d'idéaux au produit des normes (Norme d'un idéal), puis trouve dans tout idéal un élément de petite norme par le principe des tiroirs (Petit élément).

Pour $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ , ce groupe a deux éléments (Classes de ℤ[√−5]) : pour tout idéal non principal $I$ , l'idéal $\mathfrak pI$ est principal, comme $\mathfrak p\mathfrak q = (1 + \sqrt{-5})$ .

Repose sur

Tout idéal premier non nul est inversible

Sert à

Norme d'un idéal