Lemme 1Théorie algébrique des nombres

Idéaux de l'anneau des entiers d'un corps quadratique

Dans ce nœud et les deux suivants, $K = \mathbb Q(\sqrt d)$ est un corps quadratique (Corps quadratiques) et $\mathcal O = {\mathcal O_K}$ . Pour un idéal non nul $I$ , l'indice $[\mathcal O : I]$ est le nombre d'éléments, fini, de l'anneau $\mathcal O/I$ (Idéaux, (iii)).

Le produit $IJ$ de deux idéaux est celui du nœud Lemme chinois ; plus généralement, pour deux sous-groupes $M$ , $N$ de $K$ stables par multiplication par $\mathcal O$ , on note $MN$ l'ensemble des sommes finies $\sum x_iy_i$ , $x_i \in M$ , $y_i \in N$ , et ce produit est associatif et commutatif, pour la même raison.

Énoncé

(i) Si $I \subsetneq J$ sont deux idéaux non nuls, $[\mathcal O : J] < [\mathcal O : I]$ . Tout idéal non nul est engendré, comme groupe, par une partie finie.

(ii) Si $I$ est un idéal non nul et $x \in K$ vérifie $xI \subset I$ , alors $x \in \mathcal O$ .

(iii) Tout idéal non nul $I$ contient un produit $\mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r$ d'idéaux premiers non nuls, le produit vide valant $\mathcal O$ .

Démonstration

(i) Dans le groupe fini $\mathcal O/I$ , le sous-groupe $J/I$ a au moins deux éléments, puisque $J \neq I$ , et ses classes sont les images réciproques des éléments de $\mathcal O/J$ par la surjection $x + I \mapsto x + J$ . Le théorème de Lagrange (Lagrange) donne $\begin{aligned} [\mathcal O : I] &= [\mathcal O : J] \cdot |J/I| \\ &> [\mathcal O : J]. \end{aligned}$

Ensuite, $I$ contient l'entier $n = |N(\alpha)| \geqslant 1$ pour un $\alpha \in I$ non nul, comme dans la preuve de Idéaux, (iii), donc le groupe $n\mathcal O$ , engendré par $n$ et $n\omega$ si $\mathcal O = \mathbb Z + \mathbb Z\omega$ (Corps quadratiques, (ii)).

Alors $I$ est la réunion de ses classes modulo $n\mathcal O$ , en nombre fini puisque $\mathcal O/n\mathcal O$ est fini. Un représentant de chaque classe, avec $n$ et $n\omega$ , engendre $I$ ; ce sont des choix en nombre fini.

(ii) Par (i), $I$ est un sous-groupe non nul de ${\mathbb C}$ de type fini, stable par multiplication par $x$ : $x$ est un entier algébrique (Entiers algébriques, (i)), et, comme il appartient à $K$ , il est dans $\mathcal O$ .

(iii) Par récurrence sur l'indice. Si $I = \mathcal O$ , le produit vide convient ; si $I$ est premier, $I$ lui-même.

Sinon, il existe $a, b \notin I$ tels que $ab \in I$ . Les idéaux $I + a\mathcal O$ et $I + b\mathcal O$ contiennent strictement $I$ , donc sont d'indice plus petit par (i), et contiennent chacun un produit de premiers non nuls par hypothèse de récurrence. Leur produit est contenu dans $I + ab\mathcal O = I$ , et contient le produit de ces deux produits.

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Remarque

Un anneau intègre est intégralement clos si tout élément de son corps des fractions qui annule un polynôme unitaire à coefficients dans l'anneau lui appartient ; $\mathcal O$ l'est, et le point (ii) est la forme sous laquelle cette propriété sert dans la suite, avec l'écriture $\mathcal O = \mathbb Z + \mathbb Z\omega$ utilisée en (i).

L'anneau $\mathbb Z[\sqrt 5]$ , strictement plus petit que $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt 5)}$ , ne l'est pas : le nombre d'or, racine de $X^2 - X - 1$ , est dans son corps des fractions sans lui appartenir.

La forme (ii) y échoue aussi : le nombre d'or $\phi = \frac{1 + \sqrt 5}{2}$ stabilise l'idéal de $\mathbb Z[\sqrt 5]$ engendré par $2$ et $1 + \sqrt 5$ , car $\phi \cdot 2 = 1 + \sqrt 5$ et $\phi(1 + \sqrt 5) = 3 + \sqrt 5 = 2 + (1 + \sqrt 5).$

Repose sur

Défaut de factorialité et idéaux

Sert à

Tout idéal premier non nul est inversible