Entiers algébriques

(i) Si $\alpha^n = -\sum_{k<n} c_k\alpha^k$ avec $c_k \in \mathbb Z$, le groupe $M$ engendré par $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ convient : par récurrence, toute puissance de $\alpha$ y appartient.

Réciproquement, si $M$ est engendré par $x_1, \dots, x_m$, non tous nuls, écrivons $$\alpha x_i = \sum_j a_{ij}x_j,$$ avec $a_{ij} \in \mathbb Z$. La matrice $\alpha I - A$ annule le vecteur non nul $(x_j)$ de ${\mathbb C^m}$, donc son déterminant est nul (Déterminant d'une matrice, (ii)). Or le polynôme $$\begin{aligned} \chi = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_m} \varepsilon(\sigma)\prod_j &\big(X\delta_{\sigma(j)j} \\ &- a_{\sigma(j)j}\big), \end{aligned}$$ élément de $\mathbb Z[X]$, où $\delta_{ij}$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon, a pour évaluation en $\alpha$ le déterminant de $\alpha I - A$, par la formule du déterminant, l'évaluation étant un morphisme d'anneaux. Il est unitaire de degré $m$ : seul $\sigma = \mathrm{id}$ fournit un terme de degré $m$, de coefficient $1$, les autres, qui ont au moins deux facteurs constants, étant de degré au plus $m - 2$. Ainsi $\chi(\alpha) = 0$.

(ii) Si $\alpha$ et $\beta$ annulent des polynômes unitaires à coefficients entiers de degrés $n$ et $p$, le groupe $M$ engendré par les $\alpha^i\beta^j$, $i < n$, $j < p$, contient $1$, et il est stable par multiplication par $\alpha$ et par $\beta$, donc par $\alpha \pm \beta$ et $\alpha\beta$ ; on applique (i). Pour $K$, on intersecte avec le corps $K$.

(iii) Si $r = a/b$ avec $a \wedge b = 1$, $b \geqslant 1$, annule $X^n + \sum_{k<n} c_kX^k$, alors $$a^n = -b\sum_{k<n}c_ka^kb^{n-1-k},$$ et $b$ divise $a^n$ ; par le lemme de Gauss (Bézout), $b$ divise $1$.

(iv) Soit $P$ unitaire à coefficients entiers annulant $\alpha$, et $\mu$ son polynôme minimal sur $\mathbb Q$ : $P = \mu Q$ avec $Q \in \mathbb Q[X]$ (Polynôme minimal, (i)), unitaire puisque $P$ et $\mu$ le sont. Écrivons $\mu = \lambda\mu_0$ et $Q = \lambda'Q_0$, avec $\lambda, \lambda'$ rationnels et $\mu_0, Q_0 \in \mathbb Z[X]$ primitifs (Lemme de Gauss, (iii)) ; quitte à changer les signes, $\mu_0$ et $Q_0$ ont un coefficient dominant positif, et alors $\lambda, \lambda' > 0$.

On a $P = \lambda\lambda'\,\mu_0Q_0$, où $\mu_0Q_0$ est primitif (Lemme de Gauss, (ii)). Comme $P$, unitaire, est primitif, l'unicité de (iii) donne $\lambda\lambda' = 1$, les deux membres ayant un coefficient dominant positif. Les coefficients dominants de $\mu_0$ et $Q_0$ sont alors des entiers positifs de produit $1$ : celui de $\mu_0$ vaut $1$, puis $\lambda = 1$, puisque $\mu$ est unitaire, et $\mu = \mu_0 \in \mathbb Z[X]$.