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Théorème 2Théorie algébrique des nombres

Anneaux d'entiers des corps quadratiques

Soit d≠0,1d \neq 0, 1 un entier sans facteur carré et K=ℚ(d)K = \mathbb Q(\sqrt d), de degré 22, où d=i∣d∣\sqrt d = i\sqrt{|d|} si d<0d < 0. Le conjugué de α=a+bd\alpha = a + b\sqrt d, a,b∈ℚa, b \in {\mathbb Q}, est αˉ=a−bd\bar\alpha = a - b\sqrt d ; sa trace est α+αˉ=2a\alpha + \bar\alpha = 2a, celle de l'extension galoisienne K/ℚK/\mathbb Q, de groupe {id,α↦αˉ}\{\mathrm{id}, \alpha \mapsto \bar\alpha\} (Norme et trace), et sa norme N(α)=ααˉ=a2−db2N(\alpha) = \alpha\bar\alpha = a^2 - db^2.

Énoncé

(i) α∈K\alpha \in K est un entier algébrique si et seulement si sa trace et sa norme sont des entiers.

(ii) 𝒪K=ℤ[d]{\mathcal O_K} = \mathbb Z[\sqrt d] si d≡2d \equiv 2 ou 3(mod4)3 \pmod 4, et 𝒪K=ℤ[1+d2]\mathcal O_K = {\mathbb Z}\big[\frac{1 + \sqrt d}{2}\big] si d≡1(mod4)d \equiv 1 \pmod 4.

Démonstration

(i) Si b=0b = 0, α=a\alpha = a est entier si et seulement si a∈ℤa \in \mathbb Z (Entiers algébriques, (iii)), ce qui équivaut à 2a,a2∈ℤ2a, a^2 \in \mathbb Z : si 2a=A2a = A et A24∈ℤ\frac{A^2}4 \in \mathbb Z, alors AA est pair. Sinon, α∉ℚ\alpha \notin \mathbb Q annule X2−2aX+(a2−db2)X^2 - 2aX + (a^2 - db^2), qui est donc son polynôme minimal ; on applique Entiers algébriques, (iv), et la réciproque est immédiate.

(ii) Soit α=a+bd\alpha = a + b\sqrt d entier. Posons A=2a∈ℤA = 2a \in \mathbb Z ; alors 4N(α)=A2−d(2b)2∈4ℤ,4N(\alpha) = A^2 - d(2b)^2 \in 4\mathbb Z, donc d(2b)2∈ℤd(2b)^2 \in \mathbb Z, et, dd étant sans facteur carré, B=2b∈ℤB = 2b \in \mathbb Z. La condition devient A2≡dB2(mod4)A^2 \equiv dB^2 \pmod 4.

Les carrés valent 00 ou 11 modulo 44. Si d≡2,3d \equiv 2, 3, elle force AA et BB pairs : a,b∈ℤa, b \in \mathbb Z. Si d≡1d \equiv 1, elle force A≡B(mod2)A \equiv B \pmod 2, et α=A−B2+B 1+d2\alpha = \frac{A - B}{2} + B\,\frac{1 + \sqrt d}{2} avec A−B2∈ℤ\frac{A - B}2 \in \mathbb Z.

Réciproquement, ces éléments sont entiers par (i), 1+d2\frac{1 + \sqrt d}{2} ayant pour trace 11 et pour norme 1−d4∈ℤ\frac{1 - d}{4} \in \mathbb Z.

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Remarque

Pour d=−1d = -1, on obtient l'anneau ℤ[i]\mathbb Z[i] des entiers de Gauss ; pour d=−3d = -3, l'anneau ℤ[j]\mathbb Z[j] des entiers d'Eisenstein, où j=−1+−32j = \frac{-1 + \sqrt{-3}}2 est une racine cubique de l'unité. Ce sont des réseaux du plan complexe, carré et hexagonal.

1 i Z[i] 1 j Z[j]
La maille bleue, de sommets 00, 11, 1+ω1 + \omega et ω\omega pour ω=i\omega = i ou ω=j\omega = j, pave le plan par les translations du réseau. Les points de module 11, en rouge, sont au nombre de quatre dans ℤ[i]\mathbb Z[i] et de six dans ℤ[j]\mathbb Z[j] : ce sont les unités que décrit le nœud suivant.

Repose sur

Entiers algébriques

Sert à

Norme et unités
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