Norme et unités

(i) La conjugaison $\alpha \mapsto \bar\alpha$ est un automorphisme de $K$, puisque $\sqrt d$ et $-\sqrt d$ ont le même polynôme minimal (Corps de décomposition) ; donc $\overline{\alpha\beta} = \bar\alpha\bar\beta$.

(ii) Si $\alpha\beta = 1$ avec $\beta \in \mathcal O_K$, $N(\alpha)N(\beta) = 1$ avec des normes entières (Corps quadratiques). Réciproquement, si $N(\alpha) = \pm 1$, $\alpha^{-1} = \pm\bar\alpha$, et $\bar\alpha$ est entier, ayant même trace et même norme que $\alpha$.

(iii) Pour $d < 0$, $N(a + b\sqrt d) = a^2 + |d|b^2$, avec $a, b \in \frac12{\mathbb Z}$, et les unités sont les solutions de $N = 1$ par (ii).

Si $d \equiv 2, 3 \pmod 4$, alors $a, b \in \mathbb Z$, et $a^2 + |d|b^2 = 1$ force $b = 0$ et $a = \pm 1$, sauf pour $d = -1$, où s'ajoutent $\pm i$.

Si $d \equiv 1 \pmod 4$, donc $d \leqslant -3$, on écrit $\alpha = \frac{A + B\sqrt d}2$ avec $A \equiv B \pmod 2$ et $A^2 + |d|B^2 = 4$. Alors $B = 0$ et $A = \pm 2$, ou bien $|d| = 3$ et $A, B = \pm 1$, ce qui donne les six racines sixièmes de l'unité.

(iv) $N(1 + \sqrt 2) = 1 - 2 = -1$. Comme $1 + \sqrt 2 > 1$, ses puissances sont strictement croissantes, donc deux à deux distinctes.