Entiers de Gauss et théorème des deux carrés

(i) Écrivons $\alpha/\beta = x + iy$ avec $x, y \in {\mathbb Q}$, et choisissons des entiers $m, n$ avec $|x - m|, |y - n| \leqslant \frac12$. Pour $q = m + in$, on a $N(\alpha/\beta - q) \leqslant \frac14 + \frac14 < 1$, et $r = \alpha - \beta q$ vérifie $$N(r) = N(\beta)N(\alpha/\beta - q) < N(\beta).$$

Comme pour ${\mathbb Z}$ (Idéaux de ℤ), un idéal non nul est engendré par un élément de norme minimale.

Si $\pi$ est irréductible et ne divise pas $\alpha$, l'idéal $(\pi, \alpha)$, engendré par un diviseur de $\pi$, est tout l'anneau : $1 = u\pi + v\alpha$, et si $\pi \mid \alpha\beta$, alors $\pi \mid u\pi\beta + v\alpha\beta = \beta$.

(ii) Si $p = a^2 + b^2$, les carrés valant $0$ ou $1$ modulo $4$, $p \equiv 1$.

Réciproquement, si $p \equiv 1 \pmod 4$, le groupe ${\mathbb F_p}^\times$ est cyclique d'ordre $p - 1$, divisible par $4$ (Corps finis) : il contient un élément d'ordre $4$, classe d'un entier $x$ (Groupes cycliques, (iii)). La classe de $x^2$ est d'ordre $2$, racine de $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ dans le corps $\mathbb F_p$ et différente de $1$, donc $x^2 \equiv -1 \pmod p$. Ainsi $p$ divise $$x^2 + 1 = (x + i)(x - i),$$ sans diviser aucun facteur, puisque $\frac{x \pm i}{p} \notin \mathbb Z[i]$.

Par le lemme d'Euclide, $p$ n'est pas irréductible : $p = \alpha\beta$ avec $N(\alpha), N(\beta) > 1$ (Norme, unités). Comme $N(\alpha)N(\beta) = p^2$, $N(\alpha) = p$, et $\alpha = a + bi$ donne $p = a^2 + b^2$.