Théorème de Wilson et sa réciproque

(i) Pour $p = 2$, $1! = 1 \equiv -1 \pmod 2$. Soit $p$ impair, et ${\mathbb F_p} = {\mathbb Z/p\mathbb Z}$, qui est un corps (ℤ/nℤ). Pour $x \in \mathbb F_p^\times$, l'égalité $x = x^{-1}$ équivaut à $x^2 = 1$, c'est-à-dire à $(x - 1)(x + 1) = 0$, donc à $x = 1$ ou $x = -1$, le corps étant intègre. Ces deux éléments sont distincts, puisque $2 \neq 0$ dans $\mathbb F_p$ pour $p$ impair.

Soit $E = \mathbb F_p^\times \setminus \{1, -1\}$. Pour $x \in E$, l'inverse $x^{-1}$ est dans $E$ et différent de $x$ ; deux paires $\{x, x^{-1}\}$ et $\{y, y^{-1}\}$ sont égales ou disjointes, puisque $y \in \{x, x^{-1}\}$ entraîne $\{y, y^{-1}\} = \{x, x^{-1}\}$. L'ensemble $E$ est donc réunion disjointe de paires dont le produit des deux éléments vaut $1$.

Le produit de tous les éléments de $E$, calculé paire par paire, ce que permet la commutativité, vaut donc $1$, et celui de tous les éléments de $\mathbb F_p^\times$ vaut $1 \cdot (-1) \cdot 1 = -1$. Or $\mathbb F_p^\times$ est formé des classes de $1, \dots, p - 1$, dont le produit est la classe de $(p - 1)!$.

(ii) Supposons $n$ composé : $n = ab$ avec $1 < a < n$. Comme $a \leqslant n - 1$, l'entier $a$ divise $(n - 1)!$. Si l'on avait $(n - 1)! \equiv -1 \pmod n$, l'entier $a$, qui divise $n$, diviserait aussi $(n - 1)! + 1$, donc $1$, ce qui contredit $a > 1$.

(iii) Posons $P = \frac{p-1}2$. Les entiers $1, \dots, p - 1$ sont les $k$ et les $p - k$ pour $1 \leqslant k \leqslant P$, chacun une fois, puisque $p - P = P + 1$. Comme $p - k \equiv -k \pmod p$, $$\begin{aligned} (p - 1)! &= \prod_{k=1}^P k\,(p - k) \\ &\equiv (-1)^P\,(P!)^2 \pmod p. \end{aligned}$$

Par (i), $-1 \equiv (-1)^P x^2$. Si $p \equiv 1 \pmod 4$, l'entier $P$ est pair, et $x^2 \equiv -1 \pmod p$.