ChapitreThéorie algébrique des nombres

Réciprocité quadratique

Modulo un nombre premier $p$, les théorèmes de Fermat et de Wilson décrivent le groupe multiplicatif ${\mathbb F_p}^\times$ : tout élément non nul vérifie $a^{p-1} = 1$, et le produit de tous vaut $-1$ ; la congruence $(n - 1)! \equiv -1 \pmod n$ caractérise les nombres premiers. Pour $p$ impair, les carrés forment la moitié de ce groupe ; le symbole de Legendre $\big(\frac ap\big)$ vaut $1$ ou $-1$ selon que $a$ est un carré ou non, et le critère d'Euler le calcule comme $a^{\frac{p-1}2}$.

La loi de réciprocité quadratique relie, pour deux nombres premiers impairs distincts, les questions « $p$ est-il un carré modulo $q$ ? » et « $q$ est-il un carré modulo $p$ ? » : les réponses sont les mêmes, sauf si $p$ et $q$ sont tous deux congrus à $3$ modulo $4$. Elle est démontrée deux fois, par le lemme de Gauss et le comptage, dû à Eisenstein, des points d'un réseau, puis par les sommes de Gauss dans un corps fini. Les deux lois complémentaires traitent $-1$ et $2$ ; les applications donnent une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $4$ et modulo $8$. Aucune forme du choix n'intervient.