Le symbole de Jacobi et sa loi de réciprocité

Deux congruences. Pour des entiers impairs $a$ et $b$, posons $\varepsilon(a) = (-1)^{\frac{a-1}2}$ et $\theta(a) = (-1)^{\frac{a^2-1}8}$ ; les exposants sont entiers, puisque $a - 1$ est pair et que $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$, produit de deux entiers pairs consécutifs, dont l'un est multiple de $4$, est divisible par $8$. On a $$\begin{aligned} &\frac{ab - 1}2 - \frac{a - 1}2 - \frac{b - 1}2 \\ &\quad = 2 \cdot \frac{a - 1}2 \cdot \frac{b - 1}2, \end{aligned}$$ qui est pair, et de même $$\begin{aligned} &\frac{a^2b^2 - 1}8 - \frac{a^2 - 1}8 - \frac{b^2 - 1}8 \\ &\quad = 8 \cdot \frac{a^2 - 1}8 \cdot \frac{b^2 - 1}8. \end{aligned}$$ Ainsi $\varepsilon(ab) = \varepsilon(a)\varepsilon(b)$ et $\theta(ab) = \theta(a)\theta(b)$, et, par récurrence sur $r$, $\varepsilon(p_1 \cdots p_r) = \prod_i \varepsilon(p_i)$ et $\theta(p_1 \cdots p_r) = \prod_i \theta(p_i)$, les deux membres valant $1$ pour $r = 0$.

Le symbole est bien défini. Deux écritures de $n$ ne diffèrent que par l'ordre des facteurs, ce qui ne change pas le produit. Pour $n$ premier, $r = 1$ et $p_1 = n$.

(i) Si $a \equiv b \pmod n$, alors $a \equiv b \pmod{p_i}$ pour tout $i$, puisque $p_i$ divise $n$, et chaque facteur est inchangé (Symbole de Legendre, (iii)). La multiplicativité en $a$ découle facteur par facteur de celle du symbole de Legendre (même nœud, (iii)). Si $m = q_1 \cdots q_s$ et $n = p_1 \cdots p_r$ sont des écritures en facteurs premiers, $q_1 \cdots q_s\,p_1 \cdots p_r$ en est une de $mn$, d'où la multiplicativité en le module.

Le facteur $\big(\frac a{p_i}\big)$ est nul si $p_i$ divise $a$, et vaut $\pm 1$ sinon : le symbole vaut $\pm 1$ ou $0$, et il est nul si et seulement si l'un des $p_i$ divise $a$. Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $n$ (PGCD, Bézout), entier strictement positif puisque $n \neq 0$. Si un $p_i$ divise $a$, il divise $d$, et $d \neq 1$. Inversement, si $d \neq 1$, l'entier $d \geqslant 2$ a un facteur premier $p$ (Nombres premiers, (ii)), qui divise $a$ et $n$ ; par le lemme d'Euclide (même nœud, (i)), appliqué de proche en proche au produit $p_1 \cdots p_r$, il divise l'un des $p_i$, donc lui est égal, et ce $p_i$ divise $a$.

Enfin, si $a \equiv x^2 \pmod n$ et si $a$ est premier à $n$, alors $a \equiv x^2 \pmod{p_i}$, avec $p_i$ ne divisant pas $a$ : chaque facteur vaut $1$.

(ii) Par la première loi complémentaire (Symbole de Legendre, (iv)) et les congruences préliminaires, $$\Big(\frac{-1}n\Big) = \prod_i \varepsilon(p_i) = \varepsilon(n).$$ De même, par la seconde (Lemme de Gauss, (ii)), $\big(\frac 2n\big) = \prod_i \theta(p_i) = \theta(n)$.

(iii) Écrivons $m = q_1 \cdots q_s$ et $n = p_1 \cdots p_r$. Comme $m$ et $n$ sont premiers entre eux, aucun $q_j$ n'est égal à un $p_i$ : ce nombre premier diviserait à la fois $m$ et $n$. Par définition et par multiplicativité en $a$, $$\Big(\frac mn\Big) = \prod_{i, j}\Big(\frac{q_j}{p_i}\Big), \qquad \Big(\frac nm\Big) = \prod_{i, j}\Big(\frac{p_i}{q_j}\Big).$$

Pour chaque couple $(i, j)$, la loi de réciprocité quadratique (Réciprocité quadratique) donne $\big(\frac{q_j}{p_i}\big)\big(\frac{p_i}{q_j}\big) = (-1)^{P_iQ_j}$, avec $P_i = \frac{p_i - 1}2$ et $Q_j = \frac{q_j - 1}2$. Le produit vaut donc $(-1)^E$, où $$E = \sum_{i, j} P_iQ_j = \Big(\sum_i P_i\Big)\Big(\sum_j Q_j\Big).$$ Par les congruences préliminaires, $\sum_i P_i \equiv \frac{n - 1}2$ et $\sum_j Q_j \equiv \frac{m - 1}2 \pmod 2$, de sorte que $E$ a la parité de $\frac{m-1}2 \cdot \frac{n-1}2$. Les cas $m = 1$ ou $n = 1$, où les produits sont vides, sont compris dans ce calcul.