Théorème 4Réciprocité quadratique

Loi de réciprocité quadratique

Énoncé

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs distincts. Alors $\Big(\frac pq\Big)\Big(\frac qp\Big) = (-1)^{\frac{p-1}2 \cdot \frac{q-1}2}.$

Autrement dit, $\big(\frac pq\big) = \big(\frac qp\big)$ , sauf si $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$ , auquel cas $\big(\frac pq\big) = -\big(\frac qp\big)$ . C'est la loi de réciprocité quadratique.

Démonstration

Posons $P = \frac{p-1}2$ et $Q = \frac{q-1}2$ . Les entiers $q$ et $p$ sont impairs, et chacun est premier à l'autre : le lemme d'Eisenstein (Lemme d'Eisenstein) donne $\big(\frac qp\big) = (-1)^{S(q, p)}$ et $\big(\frac pq\big) = (-1)^{S(p, q)}$ . Il suffit donc de montrer que $S(q, p) + S(p, q) = PQ$ .

Soit $E$ l'ensemble des couples d'entiers $(x, y)$ tels que $1 \leqslant x \leqslant P$ et $1 \leqslant y \leqslant Q$ ; il a $PQ$ éléments. Aucun d'eux ne vérifie $qx = py$ : sinon $p$ diviserait $qx$ , donc $x$ par le lemme d'Euclide (Nombres premiers, (i)), ce qui est impossible puisque $1 \leqslant x < p$ . Ainsi $E$ est la réunion disjointe de $E_1 = \{(x, y) \in E : py < qx\}$ et de $E_2 = \{(x, y) \in E : qx < py\}$ .

Fixons $x$ , et écrivons $qx = p\,\lfloor qx/p \rfloor + t$ avec $0 < t < p$ . Si $y \leqslant \lfloor qx/p \rfloor$ , alors $py \leqslant qx - t < qx$ ; si $y \geqslant \lfloor qx/p \rfloor + 1$ , alors $py \geqslant qx - t + p > qx$ . Les $y \geqslant 1$ tels que $py < qx$ sont donc les entiers de $1$ à $\lfloor qx/p \rfloor$ .

Ils sont tous au plus $Q$ : de $p\,\lfloor qx/p \rfloor \leqslant qx$ et $2x \leqslant p - 1$ , on tire $2p\,\lfloor qx/p \rfloor \leqslant q(p - 1) < pq$ , donc $2\lfloor qx/p \rfloor < q$ et $\lfloor qx/p \rfloor \leqslant Q$ . Par conséquent $|E_1| = \sum_{x=1}^P \Big\lfloor \frac{qx}p \Big\rfloor = S(q, p),$ et, les rôles de $p$ et $q$ étant symétriques, $|E_2| = S(p, q)$ . D'où $S(q, p) + S(p, q) = |E| = PQ$ .

Pour

p = 7

q = 11

, le rectangle

E

compte

3 \cdot 5 = 15

points, et la droite

7y = 11x

n'en contient aucun. Colonne par colonne,

1 + 3 + 4 = 8

points sont au-dessous, en rouge : c'est

S(11, 7)

; ligne par ligne,

0 + 1 + 1 + 2 + 3 = 7

points sont au-dessus, en bleu : c'est

S(7, 11)

. Le point

(2, 3)

est juste au-dessous, puisque

7 \cdot 3 = 21 < 22 = 11 \cdot 2

. Comme

15

est impair,

\big(\frac 7{11}\big)\big(\frac{11}7\big) = -1

Enfin $PQ$ est impair si et seulement si $P$ et $Q$ le sont, c'est-à-dire si $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$ ; comme $\big(\frac qp\big)^2 = 1$ , l'égalité s'écrit $\big(\frac pq\big) = (-1)^{PQ}\big(\frac qp\big)$ .

□

Remarque

Pour $p = 7$ et $q = 11$ , tous deux congrus à $3$ modulo $4$ , on a $\big(\frac{11}7\big) = \big(\frac 47\big) = 1$ , alors que $7$ n'est pas un carré modulo $11$ , dont les carrés non nuls sont $1, 3, 4, 5, 9$ : les deux symboles sont bien opposés.

Remarque

Avec la multiplicativité et les deux lois complémentaires (Symbole de Legendre, (iv), et Lemme de Gauss, (ii)), la loi calcule tout symbole sans chercher de racine carrée. Pour les nombres premiers $2017$ et $1\,000\,003$ , on a $2017 \equiv 1 \pmod 4$ et $1\,000\,003 \equiv 1588 = 4 \cdot 397 \pmod{2017}$ , où $397$ est premier ; d'où $\Big(\frac{2017}{1\,000\,003}\Big) = \Big(\frac{1\,000\,003}{2017}\Big) = \Big(\frac{397}{2017}\Big),$ le facteur $4$ , qui est un carré, ne changeant pas le symbole.

Comme $397 \equiv 1 \pmod 4$ et $2017 = 5 \cdot 397 + 32$ , ce dernier symbole vaut $\big(\frac{2017}{397}\big) = \big(\frac 2{397}\big)^5 = \big(\frac 2{397}\big) = -1$ , puisque $397 \equiv 5 \pmod 8$ . Le critère d'Euler confirme le résultat : le calcul de $2017^{500\,001}$ modulo $1\,000\,003$ , fait à la machine, donne $1\,000\,002 \equiv -1$ . L'entier $2017$ n'est donc pas un carré modulo $1\,000\,003$ .

Remarque

La loi dit que $\big(\frac qp\big)$ , vu comme fonction de $p$ , ne dépend que de la classe de $p$ modulo $4q$ , alors que rien dans la définition ne le laissait prévoir : $\big(\frac qp\big) = (-1)^{PQ}\big(\frac pq\big)$ , où $(-1)^P$ ne dépend que de $p$ modulo $4$ , et $\big(\frac pq\big)$ que de $p$ modulo $q$ . Le nœud Applications en donnera les exemples $q = 3$ et $q = 5$ .

Remarque

Le calcul précédent a demandé de savoir que $397$ est premier, pour lui appliquer la loi. Le symbole de Jacobi, qui prolonge celui de Legendre à tout module impair positif, vérifie encore les deux lois complémentaires et la loi de réciprocité ; il permet de mener le même calcul sans factoriser les entiers rencontrés, ce que démontre le nœud Symbole de Jacobi.

Remarque

Euler a formulé la loi sans la démontrer, et Legendre en a donné en 1785, dans ses Recherches d'analyse indéterminée (parues en 1788), une démonstration incomplète ; il introduit son symbole en 1798, dans l'Essai sur la théorie des nombres. Gauss en trouve la première démonstration complète le 8 avril 1796, par récurrence, et la publie dans la section IV des Disquisitiones arithmeticae (1801, art. 135 à 145), où il l'appelle le théorème fondamental.

La démonstration ci-dessus, par les points d'un réseau, est celle d'Eisenstein, Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems für die quadratischen Reste (J. reine angew. Math. 28, 1844, p. 246-248), qui simplifie la troisième démonstration de Gauss.

Repose sur

Lemme d'Eisenstein

Sert à

Seconde démonstration, par les sommes de Gauss Premiers dans des progressions, caractères de 3 et de 5 Le symbole de Jacobi et sa loi de réciprocité