Premiers dans des progressions, caractères de 3 et de 5

(i) Soit $p_1, \dots, p_k$ des nombres premiers en nombre fini, et $x = 2p_1 \cdots p_k$. L'entier $N = x^2 + 1 \geqslant 2$ a un facteur premier $\ell$ (Nombres premiers, (ii)). Il est impair, puisque $N$ l'est, et différent de chaque $p_i$, qui ne divise pas $N - x^2 = 1$.

Comme $x^2 \equiv -1 \pmod \ell$, l'entier $-1$ est un résidu quadratique modulo $\ell$, et $\ell \equiv 1 \pmod 4$ (Symbole de Legendre, (iv)). Aucun ensemble fini de nombres premiers ne contient donc tous ceux qui sont congrus à $1$ modulo $4$.

(ii) Avec les mêmes notations, soit $\ell$ un facteur premier de $N = x^4 + 1$ ; il est impair et différent des $p_i$. Dans $\mathbb F_\ell^\times$, la classe $\bar x$ vérifie $\bar x^4 = -1 \neq 1$, puisque $\ell$ est impair, et $\bar x^8 = 1$.

Son ordre divise $8$ sans diviser $4$ (Groupes cycliques, (i)) : c'est $8$. Cet ordre divise l'ordre $\ell - 1$ du groupe, et $\ell \equiv 1 \pmod 8$.

(iii) Par la loi de réciprocité (Réciprocité quadratique), $\big(\frac 3p\big) = (-1)^{\frac{p-1}2}\big(\frac p3\big)$, et $\big(\frac p3\big) = 1$ si et seulement si $p \equiv 1 \pmod 3$, le seul carré non nul modulo $3$ étant $1$.

Si $p \equiv 1 \pmod 4$, la condition est $p \equiv 1 \pmod 3$ ; si $p \equiv 3 \pmod 4$, c'est $p \equiv 2 \pmod 3$. Dans le premier cas, $3$ et $4$, premiers entre eux, divisent $p - 1$, donc $12$ le divise par le lemme de Gauss (PGCD, Bézout, (iii)) ; dans le second, ils divisent $p + 1$, et $p \equiv -1 \pmod{12}$.

Réciproquement, $p \equiv \pm 1 \pmod{12}$ entraîne $p \equiv \pm 1$ modulo $4$ et modulo $3$, avec le même signe, ce qui est l'un des deux cas.

(iv) Comme $5 \equiv 1 \pmod 4$, la loi donne $\big(\frac 5p\big) = \big(\frac p5\big)$, et les carrés non nuls modulo $5$ sont $1$ et $4 \equiv -1$.