Tout idéal premier non nul est inversible

(i) Soit $a \in \mathfrak p$ non nul. Par Trois lemmes, (iii), l'idéal $a\mathcal O$ contient des produits d'idéaux premiers non nuls ; soit $r$ le plus petit nombre de facteurs d'un tel produit (Bon ordre sur ℕ), et $\mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r \subset a\mathcal O$ l'un d'eux. On a $r \geqslant 1$, puisque $a$, élément de $\mathfrak p$, n'est pas inversible.

Comme $\mathfrak p \supset \mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r$ et que $\mathfrak p$ est premier, $\mathfrak p$ contient l'un des $\mathfrak p_i$ : sinon, des $x_i \in \mathfrak p_i \setminus \mathfrak p$ auraient un produit dans $\mathfrak p$. Disons $\mathfrak p \supset \mathfrak p_1$ ; comme $\mathfrak p_1$ est maximal (Idéaux, (iii)) et $\mathfrak p \neq \mathcal O$, $\mathfrak p = \mathfrak p_1$.

Par minimalité de $r$, $\mathfrak p_2 \cdots \mathfrak p_r \not\subset a\mathcal O$ ; soit $b$ un élément de $\mathfrak p_2 \cdots \mathfrak p_r$ hors de $a\mathcal O$. Alors $$b\mathfrak p \subset \mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_r \subset a\mathcal O,$$ donc $\frac ba\,\mathfrak p \subset \mathcal O$ : $\frac ba \in \mathfrak p'$, et $\frac ba \notin \mathcal O$, puisque $b \notin a\mathcal O$.

(iii) Si $I\mathfrak p' = I$, tout $x \in \mathfrak p'$ vérifie $xI \subset I$, donc $x \in \mathcal O$ (Trois lemmes, (ii)), ce que (i) interdit.

(ii) Comme $1 \in \mathfrak p'$, $\mathfrak p \subset \mathfrak p\mathfrak p' \subset \mathcal O$, et $\mathfrak p\mathfrak p'$ est un idéal. Par maximalité de $\mathfrak p$, il vaut $\mathfrak p$ ou $\mathcal O$, et (iii), appliqué à $I = \mathfrak p$, exclut le premier cas.